a) Oznaczmy:

A - "kelner postawi odpowiednie napoje przy nakryciach osób, które je zamówiły"

Sposobów wyboru dwóch różnych miejsc spośród siedmiu jest tyle, ile 2-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 7-elementowego.

$N=\frac{7!}{\left(7-2\right)!}=\frac{7!}{5!}=\frac{7\cdot 6\cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!}}=42$  

Oba napoje kelner postawił na właściwych miejscach.

$n_A=1$  

Wobec tego:

$P\left(A\right)=\frac{n_A}{N}=\frac{1}{42}$  

---

b) Oznaczmy:

B - "kelner postawi filiżanki przy nakryciach osób, które napojów nie zamówiły"

Sposobów wyboru dwóch różnych miejsc spośród siedmiu jest tyle, ile 2-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 7-elementowego.

$N=\frac{7!}{\left(7-2\right)!}=\frac{7!}{5!}=\frac{7\cdot 6\cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!}}=42$  

Kelner postawił filiżanki na miejscach dwóch spośród pięciu osób, które nie zamawiały żadnego napoju. Sposobów wyboru dwóch różnych miejsc spośród pięciu jest tyle, ile 2-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego.

$n_B=\frac{5!}{\left(5-2\right)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!}}=20$  

Wobec tego:

$P\left(B\right)=\frac{n_B}{N}=\frac{20}{42}=\frac{10}{21}$  

---

c) Oznaczmy:

C - "kelner popełnił tylko jedną pomyłkę"

Sposobów wyboru dwóch różnych miejsc spośród siedmiu jest tyle, ile 2-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 7-elementowego.

$N=\frac{7!}{\left(7-2\right)!}=\frac{7!}{5!}=\frac{7\cdot 6\cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!}}=42$  

Kelner postawił kawę we właściwym miejscu, a herbatę - na miejscu jednej z 5 osób, która nie zamawiała żadnego napoju lub kelner postawił herbatę we właściwym miejscu, a kawę - na miejscu jednej z 5 osób, która nie zamawiała żadnego napoju

$n_C=5+5=10$  

Wobec tego:

$P\left(C\right)=\frac{n_C}{N}=\frac{10}{42}=\frac{5}{21}$