a) Oznaczmy:

A - "monety będą leżeć wzdłuż przekątnej"

Sposobów rozmieszczenia trzech różnych monet na dziewięciu polach jest tyle, ile 3-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 9-elementowego.

$N=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot \cancel{6!}}{\cancel{6!}}=504$  

Mamy 2 przekątne. Sposobów rozmieszczenia trzech różnych monet na jednej przekątnej jest tyle, ile permutacji zbioru 3-elementowego.

$n_A=2\cdot 3!=2\cdot 3\cdot 2\cdot 1=12$  

Wobec tego:

$P\left(A\right)=\frac{n_A}{N}=\frac{12}{504}=\frac{1}{42}$  

---

b) Oznaczmy:

B - "na wszystkich polach monety leżą tą samą stroną do góry"

Na każdym polu monetę możemy umieścić na 2 sposoby - u góry reszka lub u góry orzeł. Sposobów ułożenia dziewięciu monet na planszy jest tyle, ile 9-elementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru 2-elementowego.

$N=2^9=512$  

Wszystkie monety możemy umieścić reszką do góry lub orłem do góry.

$n_B=2$  

Wobec tego:

$P\left(B\right)=\frac{n_B}{N}=\frac{2}{512}=\frac{1}{256}$  

---

c) Oznaczmy:

C - "przedmioty będą leżeć wzdłuż linii (pionowej, poziomej lub ukośnej)"

Sposobów rozmieszczenia trzech różnych przedmiotów na dziewięciu polach jest tyle, ile 3-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 9-elementowego.

$N=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot \cancel{6!}}{\cancel{6!}}=504$  

Mamy 3 linie pionowe, 3 linie poziome i 2 przekątne. Sposobów rozmieszczenia trzech różnych przedmiotów na jednej linii jest tyle, ile permutacji zbioru 3-elementowego.

$n_C=\left(3+3+2\right)\cdot 3!=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48$  

Wobec tego:

$P\left(C\right)=\frac{n_C}{N}=\frac{48}{504}=\frac{2}{21}$  

---

d) Oznaczmy:

D - "w wierszach zostaną ułożone liczby 123, 456 i 789"

Sposobów rozmieszczenia dziewięciu różnych liczb na dziewięciu polach jest tyle, ile permutacji zbioru 9-elementowego.

$N=9!=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=362880$  

Liczbę 123 można ustawić na jednym z 3 wierszy, liczbę 456 - na jednym z 2 pozostałych wierszy, a liczbę 789 - na ostatnim wolnym wierszu. Sposobów ułożenia tych trzycyfrowych liczb jest tyle, ile permutacji zbioru 3-elementowego.

$n_D=3!=3\cdot 2\cdot 1=6$  

Wobec tego:

$P\left(D\right)=\frac{n_D}{N}=\frac{6}{362880}=\frac{1}{60480}$