Z talii 52 kart wybieramy losowo 13 kart. Oblicz ...- Zadanie 4: Matematyka z plusem 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Oznaczmy:

A - "wybrano 13 kierów"

Z talii 52 kart wybieramy losowo 13 kart. Sposobów jest tyle, ile 13-elementowych kombinacji ze zbioru 52-elementowego.

$N = (5213) = \frac{52 !}{13 ! \cdot ( 52 - 13 ) !} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 !}{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 39 !} = 635013559600$

Trzeba wybrać 13 spośród 13 kierów.

$n_{A} = (1313) = 1$

Wobec tego:

$P (A) = \frac{n _{A}}{N} = \frac{1}{635 013 559 600} \approx 1, 57 \cdot 10^{- 12}$

b) Oznaczmy:

B - "wybrano 13 kart tego samego koloru"

Z talii 52 kart wybieramy losowo 13 kart. Sposobów jest tyle, ile 13-elementowych kombinacji ze zbioru 52-elementowego.

W talii mamy 4 kolory. Trzeba wybrać 13 spośród 13 kart tego samego koloru.

$n_{B} = 4 \cdot (1313) = 4 \cdot 1 = 4$

Wobec tego:

$P (B) = \frac{n _{B}}{N} = \frac{4}{635 013 559 600} \approx 6, 3 \cdot 10^{- 12}$

c) Oznaczmy:

C - "wybrano 7 pików"

Z talii 52 kart wybieramy losowo 13 kart. Sposobów jest tyle, ile 13-elementowych kombinacji ze zbioru 52-elementowego.

Trzeba wybrać 7 spośród 13 pików i 6 spośród pozostałych 39 kart.

$n_{C} = (137) \cdot (396) = \frac{13 !}{7 ! \cdot ( 13 - 7 ) !} \cdot \frac{39 !}{6 ! \cdot ( 39 - 6 ) !} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 !}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6 !} \cdot \frac{39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 !}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 33 !} = 1716 \cdot 3262623 = 5598661068$

Wobec tego:

$P (C) = \frac{n _{C}}{N} = \frac{5 598 661 068}{635 013 559 600} \approx 0, 0088$

d) Oznaczmy:

D - "wybrano 1 trefla, 2 kiery i 10 pików"

Z talii 52 kart wybieramy losowo 13 kart. Sposobów jest tyle, ile 13-elementowych kombinacji ze zbioru 52-elementowego.

Trzeba wybrać 1 spośród 13 trefli, 2 spośród 13 kierów i 10 spośród 13 pików.

$n_{D} = (131) \cdot (132) \cdot (1310) = 13 \cdot \frac{13 !}{2 ! \cdot ( 13 - 2 ) !} \cdot \frac{13 !}{10 ! \cdot ( 13 - 10 ) !} = 13 \cdot \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 !}{2 \cdot 1 \cdot 11 !} \cdot \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 !}{10 ! \cdot 3 !} = 13 \cdot 78 \cdot 286 = 13 \cdot 78 \cdot 286 = 290004$

Wobec tego:

$P (D) = \frac{n _{D}}{N} = \frac{290 004}{635 013 559 600} \approx 4, 57 \cdot 10^{- 7}$

e) Oznaczmy:

E - "wybrano 3 trefle, 3 kara, 3 kiery i 4 piki"

Z talii 52 kart wybieramy losowo 13 kart. Sposobów jest tyle, ile 13-elementowych kombinacji ze zbioru 52-elementowego.

Trzeba wybrać 3 spośród 13 trefli, 3 spośród 13 kar, 3 spośród 13 kierów i 4 spośród 13 pików.

$n_{E} = (133) \cdot (133) \cdot (133) \cdot (134) = \frac{13 !}{3 ! \cdot ( 13 - 3 ) !} \cdot \frac{13 !}{3 ! \cdot ( 13 - 3 ) !} \cdot \frac{13 !}{3 ! \cdot ( 13 - 3 ) !} \cdot \frac{13 !}{4 ! \cdot ( 13 - 4 ) !} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 !}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 10 !} \cdot \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 !}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 10 !} \cdot \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 !}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 10 !} \cdot \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 !}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9 !} = 286 \cdot 286 \cdot 286 \cdot 715 = 16726464040$