W prostokątnym układzie współrzędnych obrazem punktu A(x, y) w przesunięciu równoległym o wektor [p,q] jest punkt  $A_1\left(x+p,y+q\right)$

---

Zauważmy, że przesuwając wykres prostej k:2x+y-1=0 o wektor $\overrightarrow{u}$  otrzymamy prostą l równoległą do prostej k, czyli prostą postaci  

$l:2x+y+C=0$  

---

a)

Wyznaczymy współrzędne dowolnego punktu należącego do prostej l:

• Wybieramy dowolny punkt należący do prostej k, np. dla x = 0 mamy

$2\cdot 0+y-1=0\Rightarrow y-1=0\Rightarrow y=1$  

czyli punkt (0,1) leży na prostej k. 

• Przesuwając punkt (0,1) równolegle o wektor [0,4] otrzymujemy punkt należący do prostej l o współrzędnych 

$\left(0+0,1+4\right)=\left(0,5\right)$  

Punkt (0,5) leży na prostej l czyli mamy 

$2\cdot 0+1\cdot 5+C=0$  

$5+C=0$  

$C=-5$  

więc ostatecznie 

$\underline{l:2x+y-5=0}$  

Korzystając ze wzoru na odległość prostych równoległych mamy 

$d\left(k,l\right)=\frac{\left|-5-\left(-1\right)\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\left|-4\right|}{\sqrt{4+1}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}=\frac{4}{5}\sqrt{5}=\underline{0,8\sqrt{5}}$  

---

b)

Korzystając z obliczeń z podpunkt a) wiemy, że punkt (0,1) leży na prostej k. 

Przesuwając punkt (0,1) równolegle o wektor [-5,0] otrzymujemy punkt należący do prostej l o współrzędnych 

$\left(0+\left(-5\right),1+0\right)=\left(-5,1\right)$  

Punkt (-5, 1) leży na prostej l czyli mamy 

$2\cdot \left(-5\right)+1+C=0$  

$-10+1+C=0$  

$C=9$  

więc ostatecznie 

$\underline{l:2x+y+9=0}$  

Korzystając ze wzoru na odległość prostych równoległych mamy 

$d\left(k,l\right)=\frac{\left|9-\left(-1\right)\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\left|10\right|}{\sqrt{4+1}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=\underline{2\sqrt{5}}$  

---

c)

Korzystając z obliczeń z podpunkt a) wiemy, że punkt (0,1) leży na prostej k. 

Przesuwając punkt (0,1) równolegle o wektor [-5,4] otrzymujemy punkt należący do prostej l o współrzędnych 

$\left(0+\left(-5\right),1+4\right)=\left(-5,5\right)$  

Punkt (-5, 5) leży na prostej l czyli mamy 

$2\cdot \left(-5\right)+5+C=0$  

$-10+5+C=0$  

$C=5$  

więc ostatecznie 

$\underline{l:2x+y+5=0}$  

Korzystając ze wzoru na odległość prostych równoległych mamy 

$d\left(k,l\right)=\frac{\left|5-\left(-1\right)\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\left|6\right|}{\sqrt{4+1}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}=\frac{6}{5}\sqrt{5}=\frac{12}{10}\sqrt{5}=\underline{1,2\sqrt{5}}$