Obrazem punktu A(x, y) w symetrii środkowej względem punktu O(0, 0) jest punkt A1(-x, -y).

---

Obrazem prostej k w symetrii środkowej względem punktu O(0,0) jest prosta l do niej równoległa. 

---

a)

Równanie prostej k: x - 4 = 0 możemy zapisać w postaci k: x = 4, czyli jest to prosta pionowa, do wykresu tej prostej należy np. punkt (4,0).

Obrazem punktu (4,0) w symetrii środkowej względem punktu O(0,0) jest punkt (-4,0). 

Prosta l jest równoległa do prostej k i do wykresu tej prostej należy punkt (-4,0), czyli równanie tej prostej jest postaci 

$l:x=-4$  

przekształcając równanie do postaci ogólnej mamy 

$\underline{l:x+4=0}$  

Korzystając ze wzoru na odległość prostych równoległych dostajemy, że 

$d\left(k,l\right)=\frac{\left|4-\left(-4\right)\right|}{\sqrt{1^2+0}}=\frac{8}{\sqrt{1}}=\frac{8}{1}=8$  

---

b)

Wyznaczamy współrzędne dowolnego punktu należącego do prostej k: x + y = 0. 

Np. dla x = 1 mamy

$1+y=0\Rightarrow y=-1$  

czyli do wykresu tej prostej należy punkt (1,-1). 

Obrazem punktu (1,-1) w symetrii środkowej względem punktu O(0,0) jest punkt (-1,1).

Prosta l jest równoległa do prostej k, czyli jest postaci 

$l:x+y+C=0$  

Do wykresu tej prostej należy punkt (-1,1), czyli mamy 

$-1+1+C=0\Rightarrow C=0$  

więc ostatecznie 

$\underline{l:x+y=0}$  

Otrzymaliśmy więc, że proste k i l pokrywają się, czyli 

$d\left(k,l\right)=0$  

---

c)

Równanie prostej k: y - 3 = 0 możemy zapisać w postaci k: y = 3, czyli jest to prosta pozioma, do wykresu tej prostej należy np. punkt (0,3).

Obrazem punktu (0,3) w symetrii środkowej względem punktu O(0,0) jest punkt (0,-3). 

Prosta l jest równoległa do prostej k i do wykresu tej prostej należy punkt (0,-3), czyli równanie tej prostej jest postaci 

$l:y=-3$  

przekształcając równanie do postaci ogólnej mamy 

$\underline{l:y+3=0}$  

Korzystając ze wzoru na odległość prostych równoległych dostajemy, że 

$d\left(k,l\right)=\frac{\left|3-\left(-3\right)\right|}{\sqrt{0+1^2}}=\frac{6}{\sqrt{1}}=\frac{6}{1}=6$  

---

d)

Wyznaczamy współrzędne dowolnego punktu należącego do prostej k: 3x-4y+5=0. 

Np. dla x = 0 mamy

$3\cdot 0-4y+5=0\Rightarrow -4y+5=0\Rightarrow y=\frac{5}{4}$  

czyli do wykresu tej prostej należy punkt (0, ⁵/₄). 

Obrazem punktu (0, ⁵/₄) w symetrii środkowej względem punktu O(0,0) jest punkt (0, -⁵/₄).

Prosta l jest równoległa do prostej k, czyli jest postaci 

$l:3x-4y+C=0$  

Do wykresu tej prostej należy punkt (0,-⁵/₄), czyli mamy 

$3\cdot 0-4\cdot \left(-\frac{5}{4}\right)+C=0\Rightarrow 5+C=0\Rightarrow C=-5$  

więc ostatecznie 

$\underline{l:3x-4y-5=0}$  

Korzystając ze wzoru na odległość prostych równoległych dostajemy, że 

$d\left(k,l\right)=\frac{\left|-5-5\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{\left|-10\right|}{\sqrt{9+16}}=\frac{10}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2$  

---

e)

Wyznaczamy współrzędne dowolnego punktu należącego do prostej k: x-y-2=0. 

Np. dla x = 0 mamy

$0-y-2=0\Rightarrow -y-2=0\Rightarrow y=-2$  

czyli do wykresu tej prostej należy punkt (0,-2). 

Obrazem punktu (0, -2) w symetrii środkowej względem punktu O(0,0) jest punkt (0, 2).

Prosta l jest równoległa do prostej k, czyli jest postaci 

$l:x-y+C=0$  

Do wykresu tej prostej należy punkt (0,2), czyli mamy 

$0-2+C=0\Rightarrow C=2$  

więc ostatecznie 

$\underline{l:x-y+2=0}$  

Korzystając ze wzoru na odległość prostych równoległych dostajemy, że 

$d\left(k,l\right)=\frac{\left|2-\left(-2\right)\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|4\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$   

---

f)

Wyznaczamy współrzędne dowolnego punktu należącego do prostej k: 5x+12y-26=0. 

Np. dla x = 0 mamy

$5\cdot 0+12y-26=0\Rightarrow 12y=26\Rightarrow y=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}$  

czyli do wykresu tej prostej należy punkt (0,¹³/₆). 

Obrazem punktu (0,¹³/₆) w symetrii środkowej względem punktu O(0,0) jest punkt (0, -¹³/₆).

Prosta l jest równoległa do prostej k, czyli jest postaci 

$l:5x+12y+C=0$  

Do wykresu tej prostej należy punkt (0, -¹³/₆), czyli mamy 

$5\cdot 0+12\cdot \left(-\frac{13}{6}\right)+C=0\Rightarrow -26+C=0\Rightarrow C=26$  

więc ostatecznie 

$\underline{l:5x+12y+26=0}$  

Korzystając ze wzoru na odległość prostych równoległych dostajemy, że 

$d\left(k,l\right)=\frac{\left|26-\left(-26\right)\right|}{\sqrt{5^2+{12}^2}}=\frac{\left|26+26\right|}{\sqrt{25+144}}=\frac{\left|52\right|}{\sqrt{169}}=\frac{52}{13}=4$