Zbadajmy przebieg funkcji g(x), aby ją narysować.

1. Mamy

$D_g=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

2. Szukamy przecięć z osiami układu.

Nie ma przecięcia z osią OY, ponieważ x = 0 nie należy do dziedziny.

Rozwiązujemy równanie

$g\left(x\right)=0$

$\frac{x^3-1}{x^2}=0$   

$x^3-1=0$  

$x=1$  

$P_{OX}=\left(1,0\right)$  

3. Obliczamy granice w nieskończonościach i na końcach przedziałów.

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3-1}{x^2}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x-\frac{1}{x^2}}{1}=\left[\frac{\infty }{1}\right]=\infty$  

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^3-1}{x^2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-\frac{1}{x^2}}{1}=\left[-\frac{\infty }{1}\right]=-\infty$  

Nie ma asymptoty poziomej.

Sprawdźmy czy ma asymptotę ukośną y = ax+ b.

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{x^3-1}{x^2}:x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^3-1}{x^3}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1-\frac{1}{x^3}}{1}=1=a$  

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{x^3-1}{x^2}-x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^3-1-x^3}{x^2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-1}{x^2}=0=b$  

Mamy asymptotę ukośną

$y=x$  

Obliczmy

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^3-1}{x^2}=\left[\frac{-1}{0^{+}}\right]=-\infty$  

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^3-1}{x^2}=\left[\frac{-1}{0^{+}}\right]=-\infty$  

Mamy asymptotę pionową obustronną

$x=0$  

4. Wyznaczamy pochodną i jej dziedzinę.

$g{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{3x^2\cdot x^2-\left(x^3-1\right)\cdot 2x}{x^4}=\frac{3x^4-2x^4+2x}{x^4}=\frac{x^4+2x}{x^4}$  

$D_{g{}^{\prime }}=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

5. Szukamy przedziałów monotoniczności i ekstremów.

$\frac{x^4+2x}{x^4}=0$  

$x^4+2x=0$  

$x\left(x^3+2\right)=0$  

$x=0\vee x^3=-2$  

$x=0\vee x=-\sqrt[3]{2}$  

Zauważmy, że

$g{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{dla }x\in \left(-\infty ,-\sqrt[3]{2}\right)\cup \left(0,+\infty \right)$

$g{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(-\sqrt[3]{2},0\right)$   

Funkcja rośnie na

$(-\infty ,-\sqrt[3]{2}⟩,\left(0,+\infty \right)$  

Funkcja maleje na

$⟨-\sqrt[3]{2},0)$  

Mamy maksimum w x = -∛2.

$f\left(-\sqrt[3]{2}\right)=\frac{-2-1}{\sqrt[3]{4}}=-\frac{3}{\sqrt[3]{4}}=-\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$  

Tabelka

$x$	$\left(-\infty ,-\sqrt[3]{2}\right)$	$-\sqrt[3]{2}$	$\left(-\sqrt[3]{2},0\right)$	$0$	$\left(0,1\right)$	$1$	$\left(1,+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$+$	$+$	$+$
$f\left(x\right)$	$-\infty \nearrow$	$-\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$	$\searrow -\infty$	$\times$	$-\infty \nearrow$	$0$	$\nearrow \infty$

---

a) Wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych.

Nie ma punktów wspólnych, ponieważ wykres funkcji f jest jednocześnie asymptotą dla funkcji g. Obliczenia

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$

$\frac{x^3-1}{x^2}=x\mid \cdot x^2\ne 0$   

$x^3-1=x^3\mid -x^3$

$-1=0$   

Sprzeczność.

---

---

b) Mamy

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x-\frac{x^3-1}{x^2}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3-x^3+1}{x^2}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x^2}=\left[\frac{1}{\infty }\right]=0$  

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x-\frac{x^3-1}{x^2}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^3-x^3+1}{x^2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^2}=\left[\frac{1}{\infty }\right]=0$