a) Mamy

$f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^2+x+1}$  

1. Określamy dziedzinę funkcji:

$x^2+x+1\ne 0$  

$\Delta =1-4=-3<0$  

$D_f=\mathbb{R}$  

2. Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.   

$f\left(0\right)=0$

$P_{OY}=\left(0,0\right)$  

Rozwiązujemy równanie

$f\left(x\right)=0$        

$\frac{x^2}{x^2+x+1}=0$  

$x^2=0$  

$x=0$  

Zatem

$P_{OX}=\left(0,0\right)$

3. Określamy granice funkcji.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2+x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=1$    

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2+x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=1$    

Mamy obustronną asymptotę poziomą

$y=1$  

4. Wyznaczamy pochodną funkcji i jej dziedzinę.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x\left(x^2+x+1\right)-\left(2x+1\right)\cdot x^2}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}=\frac{2x^3+2x^2+2x-2x^3-x^2}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$   

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}$  

5. Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema.

$\frac{x^2+2x}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}=0$  

$x^2+2x=0$  

$x\left(x+2\right)=0$  

$x=0\vee x=-2$  

Zauważmy, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(0,+\infty \right)$

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(-2,0\right)$

Zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach 

$(-\infty ,-2⟩,⟨0,+\infty )$

funkcja jest malejąca w przedziale 

$⟨-2,0⟩$  

Funkcja osiąga minimum dla x = 0

$f\left(0\right)=0$   

I funkcja osiąga maksimum dla x = -2

$f\left(-2\right)=\frac{4}{4-2+1}=\frac{4}{3}$   

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,0\right)$	$0$	$\left(0,+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	$1\nearrow$	$\frac{4}{3}$	$\searrow$	$0$	$\nearrow 1$