a) Mamy

$f\left(x\right)=\frac{9-x^2}{x^2-1}$  

1. Określamy dziedzinę funkcji:

$x^2-1\ne 0$  

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ne 0$  

$x\ne 1\wedge x\ne -1$  

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

---

2. Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Sprawdzamy, w jakim punkcie wykres przecina oś OY obliczamy f(0).

$f\left(0\right)=\frac{9}{-1}=-9$

Wykres przecina oś OY w punkcie

$\left(0,-9\right)$  

Aby znaleźć punkty, w których wykres przecina oś OX, rozwiązujemy równanie

$f\left(x\right)=0$        

$\frac{9-x^2}{x^2-1}=0\mid \cdot \left(x^2-1\right)\ne 0$  

$9-x^2=0$  

$\left(3-x\right)\left(3+x\right)=0$  

$x=3\vee x=-3$  

Zatem wykres funkcji f(x) przecina oś OX w punktach

$\left(-3,0\right),\left(3,0\right)$

---

3. Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja f(x) jest określona. 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{\frac{9}{x^2}-1}{1-\frac{1}{x^2}}\right)=-1$    

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{\frac{9}{x^2}-1}{1-\frac{1}{x^2}}\right)=-1$    

Prosta o równaniu

$y=-1$

jest obustronną asymptotą poziomą wykresu funkcji.

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)\stackrel{\left[\frac{8}{0^{+}}\right]}{=}+\infty$  

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)\stackrel{\left[\frac{8}{0^{-}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)\stackrel{\left[\frac{8}{0^{-}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)\stackrel{\left[\frac{8}{0^{+}}\right]}{=}+\infty$  

Proste

$x=-1,x=1$

są asymptotami pionowymi (obustronnymi) wykresu funkcji f.

---

4. Wyznaczamy pochodną funkcji.

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{-2x\left(x^2-1\right)-\left(9-x^2\right)\cdot 2x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-2x\left(x^2-1+9-x^2\right)}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-2x\cdot 8}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-16x}{{\left(x^2-1\right)}^2}$   

i określamy jej dziedzinę:

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

---

5. Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji.

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$\frac{-16x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=0\text{/}\cdot {\left(x^2-1\right)}^2\ne 0$  

$-16x=0\mid :\left(-16\right)$  

$x=0$  

Zauważmy, że 

${\left(x^2-1\right)}^2>0,x\in D_{f{}^{\prime }}$  

Stąd znak pochodnej jest taki sam jak znak wyrażenia -16x.

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(-1,0\right)$

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(0,1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$

Zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach

$\left(-\infty ,-1\right),(-1,0⟩$

Malejąca w przedziałach

$⟨0,1),\left(1,+\infty \right)$

Funkcja osiąga maksimum lokalne dla x = 0.

$f\left(0\right)=\frac{9}{-1}=-9$  

---

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,-3\right)$	$-3$	$\left(-3,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,0\right)$	$0$	$\left(0,1\right)$	$1$	$\left(1,3\right)$	$3$	$\left(3,\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$+$	$+$	$\times$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$-$	$-$	$+$
$f\left(x\right)$	$-1\nearrow$	$0$	$\nearrow +\infty$	$\times$	$-\infty \nearrow$	$-9$	$\searrow -\infty$	$\times$	$+\infty \searrow$	$0$	$\searrow -1$

---

Szkicujemy wykres funkcji:

---

---

b) Mamy

$f\left(x\right)=\frac{x^2}{2-x^2}$  

1. Określamy dziedzinę funkcji:

$2-x^2\ne 0$  

$x\ne -\sqrt{2}\wedge x\ne \sqrt{2}$  

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\right\}$  

---

2. Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Sprawdzamy, w jakim punkcie wykres przecina oś OY obliczamy f(0).

$f\left(0\right)=0$

Wykres przecina oś OY w punkcie

$\left(0,0\right)$  

Aby znaleźć punkty, w których wykres przecina oś OX, rozwiązujemy równanie      

$\frac{x^2}{2-x^2}=0\mid \cdot \left(2-x^2\right)\ne 0$  

$x^2=0$  

$x=0$  

Zatem wykres funkcji f(x) przecina oś OX w punkcie

$\left(0,0\right)$  

---

3. Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja f(x) jest określona. 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{2-x^2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{2}{x^2}-1}\stackrel{\left[\frac{1}{-1}\right]}{=}-1$      

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{2-x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{2}{x^2}-1}\stackrel{\left[\frac{1}{-1}\right]}{=}-1$    

Zatem funkcja ma asymptotę poziomą obustronną

$y=-1$  

Mamy

$\underset{x\to {\sqrt{2}}^{-}}{\lim }\frac{x^2}{2-x^2}\stackrel{\left[\frac{4}{0^{+}}\right]}{=}+\infty$  

$\underset{x\to {\sqrt{2}}^{+}}{\lim }\frac{x^2}{2-x^2}\stackrel{\left[\frac{4}{0^{-}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to -{\sqrt{2}}^{-}}{\lim }\frac{x^2}{2-x^2}\stackrel{\left[\frac{4}{0^{-}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to -{\sqrt{2}}^{+}}{\lim }\frac{x^2}{2-x^2}\stackrel{\left[\frac{4}{0^{+}}\right]}{=}+\infty$  

Proste o równaniach

$x=\sqrt{2},x=-\sqrt{2}$

to asymptoty pionowe (obustronne) wykresu funkcji f. 

---

4. Wyznaczamy pochodną funkcji.

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{x^2}{2-x^2}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{2x\left(2-x^2\right)-x^2\cdot \left(-2x\right)}{{\left(2-x^2\right)}^2}=\frac{4x-2x^3+2x^3}{{\left(2-x^2\right)}^2}=\frac{4x}{{\left(2-x^2\right)}^2}$   

i określamy jej dziedzinę

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}\backslash \left\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\right\}$  

---

5. Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji.

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$\frac{4x}{{\left(2-x^2\right)}^2}=0$  

$4x=0$  

$x=0$  

Zauważmy, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(-\infty ,-\sqrt{2}\right)\cup \left(-\sqrt{2},0\right)$

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(0,\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2},+\infty \right)$

Zatem funkcja jest malejąca w przedziałach 

$\left(-\infty ,-\sqrt{2}\right),(-\sqrt{2},0⟩$

Rosnąca na przedziale

$⟨0,\sqrt{2}),\left(\sqrt{2},+\infty \right)$  

Funkcja osiąga minimum lokalne dla x = 0.

$f\left(0\right)=0$   

---

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,-\sqrt{2}\right)$	$-\sqrt{2}$	$\left(-\sqrt{2},0\right)$	$0$	$\left(0,\sqrt{2}\right)$	$\sqrt{2}$	$\left(\sqrt{2},+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$-$	$\times$	$-$	$0$	$+$	$\times$	$+$
$f\left(x\right)$	$-1\searrow -\infty$	$\times$	$+\infty \searrow$	$0$	$\nearrow +\infty$	$\times$	$-\infty \nearrow -1$

---

Szkicujemy wykres funkcji:

---

---

c) Mamy

$f\left(x\right)=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2}=\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{x-2-x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$  

1. Określamy dziedzinę funkcji:

$x+2\ne 0\wedge x-2\ne 0$  

$x\ne -2\wedge x\ne 2$  

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-2,2\right\}$  

---

2. Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Sprawdzamy, w jakim punkcie wykres przecina oś OY obliczamy f(0).

$f\left(0\right)=\frac{-4}{-4}=1$

Wykres przecina oś OY w punkcie

$\left(0,1\right)$  

Aby znaleźć punkty, w których wykres przecina oś OX, rozwiązujemy równanie      

$\frac{-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=0\mid \cdot \left(x^2-4\right)\ne 0$  

$-4\ne 0$  

Zatem wykres funkcji f(x) nie przecina osi OX.

---

3. Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja f(x) jest określona. 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{-4}{\infty }\right]}{=}0$      

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{-4}{\infty }\right]}{=}0$    

Zatem funkcja ma asymptotę poziomą obustronną

$y=0$  

Mamy

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{-4}{0^{-}}\right]}{=}+\infty$  

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{-4}{0^{+}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{-4}{0^{+}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{-4}{0^{-}}\right]}{=}+\infty$  

Proste o równaniach

$x=2,x=-2$

to asymptoty pionowe (obustronne) wykresu funkcji f. 

---

4. Wyznaczamy pochodną funkcji.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{4}{{\left(x-2\right)}^2{\left(x+2\right)}^2}\cdot 2x=\frac{8x}{{\left(x-2\right)}^2{\left(x+2\right)}^2}$   

i określamy jej dziedzinę

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}\backslash \left\{-2,2\right\}$  

---

5. Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji.

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$\frac{8x}{{\left(x-2\right)}^2{\left(x+2\right)}^2}=0$  

$8x=0$  

$x=0$  

Zauważmy, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(-2,0\right)$

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(0,2\right)\cup \left(2,+\infty \right)$

Zatem funkcja jest malejąca w przedziałach 

$\left(-\infty ,-2\right),(-2,0⟩$

Rosnąca na przedziale

$⟨0,2),\left(2,+\infty \right)$  

Funkcja osiąga minimum lokalne dla x = 0.

$f\left(0\right)=0$   

---

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,0\right)$	$0$	$\left(0,2\right)$	$2$	$\left(2,+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$-$	$\times$	$-$	$0$	$+$	$\times$	$+$
$f\left(x\right)$	$0\searrow -\infty$	$\times$	$+\infty \searrow$	$0$	$\nearrow +\infty$	$\times$	$-\infty \nearrow 0$

---

Szkicujemy wykres funkcji: