a) Chcemy uzasadnić, że

$\underset{x\to 2}{\lim }\left(2x^2-3x+1\right)=3$  

Niech (x_n) będzie dowolnym ciągiem o wyrazach różnych od 2 oraz

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=2$  

Zauważmy, że

$\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(2x_n^2-3x_n+1\right)=2\cdot 2^2-3\cdot 2+1=8-6+1=3$  

Stąd

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=3$  

c.b.d.u.

---

b) Chcemy uzasadnić, że

$\underset{x\to 10}{\lim }\frac{x+2}{x-6}=3$  

Niech (x_n) będzie dowolnym ciągiem o wyrazach różnych od 10 oraz

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=10$  

Zauważmy, że

$\underset{n\to \infty }{\lim }g\left(x_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n+2}{x_n-6}=\frac{10+2}{10-6}=\frac{12}{4}=3$  

Stąd

$\underset{x\to 10}{\lim }g\left(x\right)=3$  

c.b.d.u.

---

c) Chcemy uzasadnić, że

$\underset{x\to -1}{\lim }\left(\frac{1}{x+3}+\frac{5}{5x+7}\right)=3$  

Niech (x_n) będzie dowolnym ciągiem o wyrazach różnych od -1 oraz

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=-1$  

Zauważmy, że

$\underset{n\to \infty }{\lim }h\left(x_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{x_n+3}+\frac{5}{5x_n+7}\right)=\frac{1}{-1+3}+\frac{5}{-5+7}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Stąd

$\underset{x\to -1}{\lim }h\left(x\right)=3$  

c.b.d.u.