a) Wiemy, że:
w+z=14
x+y=12
Liczby w, x, y są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Różnicę tego ciągu oznaczmy przez r. Wówczas:
x=w+r
y=x+r=w+r+r=w+2r
Liczby x, y, z są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Korzystamy z zależności między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego.
y2=x⋅z
Wobec tego:
⎩⎨⎧w+z=14 ∣−ww+r+w+2r=12(w+2r)2=(w+r)⋅z
⎩⎨⎧z=14−w2w+3r=12 ∣−3r(w+2r)2=(w+r)⋅z
⎩⎨⎧z=14−w2w=12−3r ∣:2(w+2r)2=(w+r)⋅z
⎩⎨⎧z=14−ww=6−23r(w+2r)2=(w+r)⋅z
⎩⎨⎧z=14−(6−23r)w=6−23r(6−23r+2r)2=(6−23r+r)⋅z
⎩⎨⎧z=14−6+23rw=6−23r(6+21r)2=(6−21r)⋅z
⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23r(6+21r)2=(6−21r)(8+23r)
⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23r36+6r+41r2=48+9r−4r−43r2
⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23r36+6r+41r2=48+5r−43r2 ∣+43r2
⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23r36+6r+r2=48+5r ∣−5r
⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23r36+r+r2=48 ∣−48
⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23r−12+r+r2=0
⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23rr2+r−12=0
⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23rr2−3r+4r−12=0
⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23rr(r−3)+4(r−3)=0
⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23r(r−3)(r+4)=0
Wobec tego:
⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23rr−3=0 ∨ ⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23rr+4=0
⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23rr=3 ∨ ⎩⎨⎧z=8+23rw=6−23rr=−4
⎩⎨⎧z=8+23⋅3w=6−23⋅3r=3 ∨ ⎩⎨⎧z=8+23⋅(−4)w=6−23⋅(−4)r=−4
⎩⎨⎧z=8+29w=6−29r=3 ∨ ⎩⎨⎧z=8−6w=6+6r=−4
⎩⎨⎧z=8+4,5w=6−4,5r=3 ∨ ⎩⎨⎧z=2w=12r=−4
⎩⎨⎧z=12,5w=1,5r=3 ∨ ⎩⎨⎧z=2w=12r=−4
Wyznaczamy jeszcze wartości x oraz y.
(1) x=w+r=1,5+3=4,5
y=x+r=4,5+3=7,5
(2) x=w+r=12+(−4)=12−4=8
y=x+r=8+(−4)=8−4=4
Stąd:
⎩⎨⎧w=1,5x=4,5y=7,5z=12,5 ∨ ⎩⎨⎧w=12x=8y=4z=2
b) Wiemy, że:
w+z=−8
x+y=−4
Liczby w, x, y są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Różnicę tego ciągu oznaczmy przez r. Wówczas:
x=w+r
y=x+r=w+r+r=w+2r
Liczby x, y, z są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Korzystamy z zależności między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego.
y2=x⋅z
Wobec tego:
⎩⎨⎧w+z=−8 ∣−ww+r+w+2r=−4(w+2r)2=(w+r)⋅z
⎩⎨⎧z=−8−w2w+3r=−4 ∣−3r(w+2r)2=(w+r)⋅z
⎩⎨⎧z=−8−w2w=−4−3r ∣:2(w+2r)2=(w+r)⋅z
⎩⎨⎧z=−8−ww=−2−23r(w+2r)2=(w+r)⋅z
⎩⎨⎧z=−8−(−2−23r)w=−2−23r(−2−23r+2r)2=(−2−23r+r)⋅z
⎩⎨⎧z=−8+2+23rw=−2−23r4−2r+41r2=(−2−23r+r)⋅z
⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23r4−2r+41r2=(−2−23r+r)⋅z
⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23r4−2r+41r2=(−2−23r+r)(−6+23r)
⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23r4−2r+41r2=(−2−21r)(−6+23r)
⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23r4−2r+41r2=12−3r+3r−43r2
⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23r4−2r+41r2=12−43r2 ∣+43r2
⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23r4−2r+r2=12 ∣−12
⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23r−8−2r+r2=0
⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23rr2−2r−8=0
⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23rr2+2r−4r−8=0
⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23rr(r+2)−4(r+2)=0
⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23r(r+2)(r−4)=0
Wobec tego:
⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23rr+2=0 ∨ ⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23rr−4=0
⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23rr=−2 ∨ ⎩⎨⎧z=−6+23rw=−2−23rr=4
⎩⎨⎧z=−6+23⋅(−2)w=−2−23⋅(−2)r=−2 ∨ ⎩⎨⎧z=−6+23⋅4w=−2−23⋅4r=4
⎩⎨⎧z=−6−3w=−2+3r=−2 ∨ ⎩⎨⎧z=−6+6w=−2−6r=4
⎩⎨⎧z=−9w=1r=−2 ∨ ⎩⎨⎧z=0w=−8r=4
Wyznaczamy jeszcze wartości x oraz y.
(1) x=w+r=1+(−2)=1−2=−1
y=x+r=−1+(−2)=−1−2=−3
(2) x=w+r=−8+4=−4
y=x+r=−4+4=0
Stąd:
⎩⎨⎧w=1x=−1y=−3z=−9 ∨ ⎩⎨⎧w=−8x=−4y=0z=0
