Przeprowadzimy dowód nie wprost.

Załóżmy, że wyrazy  $a_k,$   $a_l,$   $a_m,$  należące do ciągu $\left(a_n\right),$  są wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. 

Korzystamy z zależności między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego.

$a_l=\frac{a_k+a_m}{2}\mid \cdot 2$  

$2a_l=a_k+a_m$  

Wobec tego:

$2\cdot 2^l=2^k+2^m\mid :2^k$  

$2\cdot 2^{l-k}=1+2^{m-k}$  

Lewa strona równości jest liczbą parzystą, a prawa - nieparzystą. Otrzymaliśmy sprzeczność. 

Oznacza to, że z nieskończonego ciągu geometrycznego o wzorze ogólnym  $a_n=2^n$  nie można wybrać trzech wyrazów tworzących ciąg arytmetyczny.

Co należało dowieść.