Liczby  $a,$   $b,$   $c$  tworzą ciąg arytmetyczny. Różnicę tego ciągu oznaczmy przez $r.$  Wówczas:

$b=a+r$  

$c=b+r=a+r+r=a+2r$  

Korzystamy ze związku zachodzącego między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego.

$b=\frac{a+c}{2}\mid \cdot 2$  

$2b=a+c$  

Suma liczb  $a,$   $b,$   $c$  jest równa 18, więc:

$a+b+c=18$  

Wobec tego:

$2b+b=18$  

$3b=18\mid :3$  

$b=6$  

Możemy również zapisać równanie:

$a+a+r+a+2r=18$  

$3a+3r=18\mid :3$  

$a+r=6\mid -r$  

$a=6-r$  

Liczby  $a,$   $b,$   $c+1$  tworzą ciąg geometryczny. Korzystamy ze związku zachodzącego między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego.

$b^2=a\cdot \left(c+1\right)$  

Zatem:

$6^2=a\cdot \left(c+1\right)$  

$36=ac+a$  

$36=a\left(a+2r\right)+a$  

$36=a^2+2ra+a$  

W miejsce  $a$  podstawiamy  $6-r.$  

$36={\left(6-r\right)}^2+2r\left(6-r\right)+6-r$  

$36=36-12r+r^2+12r-2r^2+6-r\mid -36$  

$0=-r^2-r+6$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 6=1+24=25$  

Wyznaczamy pierwiastki równania.

$r_1=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{25}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{1-5}{-2}=\frac{-4}{-2}=2$  

$r_2=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{25}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{1+5}{-2}=\frac{6}{-2}=-3$  

Zatem:

$r\in \left\{-3,2\right\}$