3 szkoły ponadpodstawowej

III liceum

III technikum

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Równanie okręgu o środku w punkcie S=(a,b)  i promieniu r&gt;0 (x−a)2+(y−b)2=r2 Środek okręgu ma współrzędne S=(4, 3) , więc  a=4  i  b=3 , a zatem (x−4)2+(y−3)2=r2 . Punkt A=(8,0)  leży na tym okręgu, czyli (8−4)2+(0−3)2=r2 42+(−3)2=r2 16+9=r2 25=r2 Równanie okręgu (x−4)2+(y−3)2=25

Rozwiązanie 1

Mamy zapisać równanie okręgu w postaci ogólnej. a) Mamy dane S=(7,−1),  r=3   Stąd (x−7)2+(y−(−1))2=32   (x−7)2+(y+1)2=32

Równanie okręgu o środku w punkcie S=(a,b)  i promieniu r&gt;0 (x−a)2+(y−b)2=r2 Odległość środka takiego okręgu od obu osi jest równa 4 , są cztery takie okręgi

Równanie okręgu o środku w punkcie S=(a,b)  i promieniu r&gt;0 (x−a)2+(y−b)2=r2 Środek okręgu znajduje się na osi y. Odległość środka tego okręgu od osi x jest równa 3.

Równanie okręgu o środku w punkcie S=(a,b)  i promieniu r&gt;0 (x−a)2+(y−b)2=r2   a) Zacznijmy od wykonania rysunku:

Okrąg jest styczny do obu osi układu, więc odcięta i rzędna środka okręgu są sobie równe i równe odpowiednio odciętej i rzędnej punktów styczności z osiami układu. Możemy więc przyjąć oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Przekształcamy równanie danego okręgu do postaci kanonicznej: x2+y2−4x−4y+7=0   x2−4x+y2−4y+7=0

a) A=(5, 1),  B=(4, 6),  C=(−1, 5)   Równanie okręgu w postaci ogólnej: x2+y2−2ax−2by+c=0   Po podstawieniu kolejno współrzędnych punktów A, B i C do równania okręgu otrzymamy układ trzech równań: ⎩<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎨<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎧​52+12−2a⋅5−2b⋅1+c=042+62−2a⋅4−2b⋅6+c=0(−1)2+52−2a⋅(−1)−2b⋅5+c=0​

Punkty P=(1,−1)  i Q=(5,3)  są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu wpisanego w okrąg, zatem odcinek PQ  jest średnicą tego okręgu. Wyznaczamy jego środek

4.11.