Aby odcinek miał dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem jeden koniec być wewnątrz okręgu a drugi na zewnątrz (aby odcinek przecinał się z okręgiem w jednym punkcie) lub tylko jeden koniec odcinka znajdował się na okręgu - przy czym drugi nie może być w takim miejscu aby odcinek przecinał okrąg.

a) Sprawdźmy położenie punktów względem okręgu

Punkt A

${\left(3+1\right)}^2+{\left(1-6\right)}^2=4^2+{\left(-5\right)}^2=16+25=41>25$  

A leży na zewnątrz okręgu. 

Punkt B

${\left(-2+1\right)}^2+{\left(3-6\right)}^2={\left(-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2=1+9=10<25$   

B leży wewnątrz okręgu.

Zatem odcinek AB ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

b) Sprawdźmy położenie punktów względem okręgu

Punkt A

${\left(6-3\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2=3^2+{\left(-2\right)}^2=9+4=13>9$  

A leży na zewnątrz okręgu. 

Punkt B

${\left(5-3\right)}^2+{\left(2-3\right)}^2=2^2+{\left(-1\right)}^2=4+1=5<9$   

B leży wewnątrz okręgu.

Zatem odcinek AB ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

c) Sprowadźmy równanie okręgu do postaci kanonicznej.

$x^2+y^2+4x+2y+1=0$  

$x^2+4x+4-4+y^2+2y+1=0$  

${\left(x+2\right)}^2-4+{\left(y+1\right)}^2=0$  

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=4$  

Sprawdźmy położenie punktów względem okręgu

Punkt A

${\left(-4+2\right)}^2+{\left(1+1\right)}^2=4+4=16>4$  

A leży na zewnątrz okręgu. 

Punkt B

${\left(-3+2\right)}^2+{\left(-2+1\right)}^2=1+1=2<4$    

B leży wewnątrz okręgu.

Zatem odcinek AB ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

d) Sprowadźmy równanie okręgu do postaci kanonicznej.

$x^2+y^2+2x+4y-13=0$  

$x^2+2x+1-1+y^2+4y+4-4-13=0$  

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2-18=0$  

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=18$  

Sprawdźmy położenie punktów względem okręgu

Punkt A

${\left(0+1\right)}^2+{\left(4+2\right)}^2=1+36=37>18$

A leży na zewnątrz okręgu. 

Punkt B

${\left(-2+1\right)}^2+{\left(2+2\right)}^2=1+16=17<18$

B leży wewnątrz okręgu.

Zatem odcinek AB ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.