3 szkoły ponadpodstawowej

III liceum

III technikum

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie 1

Na podstawie współczynników przy zmiennych x i y widzimy, że proste 3x-4y+21=0 oraz 4x+3y+28=0 są prostopadłe, więc trójkąt ABC jest prostokątny. <hr> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej: x2+2x+y2−4y+m=0

Przekształcamy dane równanie do postaci kanonicznej: x2+y2−6x+4y+m=0   (x2−6x+9)−9+(y2+4y+4)−4+m=0

Mamy dane równanie z wartością bezwzględną (x+∣x∣)2+(y+∣y∣)2=36   1. Dla x&gt;0, y&gt;0 (x+x)2+(y+y)2=36   (2x)2+(2y)2=36   4x2+4y2=36   ∣:4   x2+y2=9

A.   Równanie okręgu o środku w punkcie S=(a,b)  i promieniu r&gt;0 : (x−a)2+(y−b)2=r2 . Równanie okręgu o środku w punkcie S=(−9,0)  i promieniu r=2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ : (x−(−9))2+(y−0)2=2 (x+9)2+y2=2 . Stwierdzenie jest prawdziwe. <hr> B.    Równanie

Współrzędne środka odcinka AB  obliczamy ze wzoru: (2xA​+xB​​,2yA​+yB​​)   Środek odcinka o końcach w punktach M=(−5,8)  i  N=(3,2) , czyli środek

Szukamy punktu przecięcia prostych 2x−y+4=0  i x−2y+2=0 {2x−y+4=0       ∣+yx−2y+2=0​   {2x+4=yx−2y+2=0​   {y=2x+4x−2y+2=0​   Do równania okręgu w miejsce niewiadomej y  podstawiamy

Równanie okręgu w postaci ogólnej: x2+y2−2ax−2by+c=0   Po podstawieniu kolejno współrzędnych punktów A, B i C do równania okręgu otrzymamy układ trzech równań: