Treść:
Prosta dana równaniem y=1/2x+3/2 jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji f(x)=x4-3x3+x2+x+5 w punkcie
A. (-1, 6)
B. (0, 5)
C. (1, 5)
D. (2, 3)
Rozwiązanie:
| Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0, to równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) dane jest wzorem y=ax+b, gdzie a=f'(x0), b=f(x0)-f'(x0)·x0. |
Uwaga: Treść zadania jest niejednoznacznie sformułowana (można sprawdzić, że żaden z danych punktów nie leży na prostej y=1/2x+3/2, więc nie szukamy punktu przecięcia tej prostej ze styczną). W zadaniu należy znaleźć punkt styczności.
Obliczamy pochodną funkcji f:
Niech prosta styczna do wykresu funkcji y=f(x) w punkcie P(p, q) będzie miała równanie:
Chcemy, by była ona prostopadła do prostej y=1/2x+3/2.
Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1, czyli:
Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej funkcji f w punkcie p:
Szukamy pierwiastków wielomianu
Jeżeli liczba całkowita m jest pierwiastkiem wielomianu W, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to m jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.
Dzielnikami wyrazu wolnego W są liczby -3, -1, 1, 3. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W:
Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W, więc wielomian W jest podzielny przez dwumian p-1.
Wykonujemy dzielenie W(p):(p-1), stosując schemat Hornera.
| 4 | -9 | 2 | 3 | |
| 1 | 4 | -5 | -3 | |
| 4 | -5 | -3 | 0 |
Otrzymujemy:
Obliczamy pierwiastki trójmianu 4p2-5p-3:
Zatem wszystkie pierwiastki (równania) wielomianu W to:
Współrzędne punktów podanych w odpowiedziach są liczbami całkowitymi, więc rozwiązania niewymierne nas nie interesują. Otrzymujemy więc:
Wówczas:
Zatem styczna prostopadła do prostej y=1/2x+3/2 przecina wykres funkcji f w punkcie (1, 5).
Prawidłowa odpowiedź to C.
Dagmara Kowalczuk
Nauczycielka matematyki
Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:
Tutaj pojawi się lista Twoich książek
Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

