Treść:

Prosta dana równaniem y=¹/₂x+³/₂ jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji f(x)=x⁴-3x³+x²+x+5 w punkcie

A. (-1, 6)

B. (0, 5)

C. (1, 5)

D. (2, 3)

---

---

Rozwiązanie:

Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0, to równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) dane jest wzorem y=ax+b, gdzie a=f'(x0), b=f(x0)-f'(x0)·x0.

---

Uwaga: Treść zadania jest niejednoznacznie sformułowana (można sprawdzić, że żaden z danych punktów nie leży na prostej y=1/2x+3/2, więc nie szukamy punktu przecięcia tej prostej ze styczną). W zadaniu należy znaleźć punkt styczności.

---

$f\left(x\right)=x^4-3x^3+x^2+x+5,D_f=\mathbf{R}$  

Obliczamy pochodną funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=4x^3-3\cdot 3x^2+2x+1=4x^3-9x^2+2x+1$  

---

Niech prosta styczna do wykresu funkcji y=f(x) w punkcie P(p, q) będzie miała równanie:

$y=ax+b$  

Chcemy, by była ona prostopadła do prostej y=¹/₂x+³/₂.

Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1, czyli:

$a\cdot \frac{1}{2}=-1\mid \cdot 2$  

$a=-2$  

---

Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej funkcji f w punkcie p:

$a=f{}^{\prime }\left(p\right)$  

$-2=4p^3-9p^2+2p+1$  

$4p^3-9p^2+2p+3=0$  

Szukamy pierwiastków wielomianu

$W\left(p\right)=4p^3-9p^2+2p+3$  

Jeżeli liczba całkowita m jest pierwiastkiem wielomianu W, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to m jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego W są liczby -3, -1, 1, 3. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W:

$W\left(1\right)=4\cdot 1^3-9\cdot 1^2+2\cdot 1+3=4-9+2+3=0$  

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W, więc wielomian W jest podzielny przez dwumian p-1.

Wykonujemy dzielenie W(p):(p-1), stosując schemat Hornera.

	4	-9	2	3
1		4	-5	-3
	4	-5	-3	0

---

Otrzymujemy:

$W\left(p\right):\left(p-1\right)=4p^2-5p-3$  

$W\left(p\right)=\left(p-1\right)\left(4p^2-5p-3\right)$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu 4p²-5p-3:

$\Delta =25+48=73,\sqrt{\Delta }=\sqrt{73}$  

$p=\frac{5-\sqrt{73}}{8}\vee p=\frac{5+\sqrt{73}}{8}$  

Zatem wszystkie pierwiastki (równania) wielomianu W to:

$1,\frac{5-\sqrt{73}}{8},\frac{5+\sqrt{73}}{8}$  

---

Współrzędne punktów podanych w odpowiedziach są liczbami całkowitymi, więc rozwiązania niewymierne nas nie interesują. Otrzymujemy więc:

$p=1$  

Wówczas:

$q=f\left(p\right)=f\left(1\right)=1^4-3\cdot 1^3+1^2+1+5=1-3+1+1+5=5$  

Zatem styczna prostopadła do prostej y=¹/₂x+³/₂ przecina wykres funkcji f w punkcie (1, 5).

---

Prawidłowa odpowiedź to C.