Treść: 

Liczba x jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie 1/√3. Liczba y jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie -1/√3. Wynika stąd, że liczba x-y jest równa

A. 0

B. √3

C. 2/(√3 -1)

D. 3

---

Rozwiązanie:

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a₁ i ilorazie q, gdzie -1<q<1, wynosi: 

$S=\frac{a_1}{1-q}$  

Korzystamy z powyższego wzoru i wyznaczamy liczby x oraz y.

$x=\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}=1\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$  

$y=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}=1\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$  

Wyznaczamy różnicę x-y.

$x-y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}-\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=\frac{3+\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2}-\frac{3-\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-1}-\frac{3-\sqrt{3}}{3-1}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}-\frac{3-\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}-\left(3-\sqrt{3}\right)}{2}=\frac{3+\sqrt{3}-3+\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$  

---

Odp. B