Treść:

Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest 10 kul: 8 białych i 2 czarne, w drugiej
jest 8 kul: 5 białych i 3 czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne.
Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była
czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych
urn, jest równe:

A. $\frac{2}{18}$  
B. $\frac{15}{23}$  
C. $\frac{8}{23}$  
D. $\frac{5}{18}$  

---

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenia:

$P\left(C\right)$  -prawdopodobieństwo całkowite wylosowania kuli czarnej

$P\left(u1\right)$  -prawdopodobieństwo wylosowania kuli z 1 urny

$P\left(u1\mid C\right)$  -prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z 1 urny

$P\left(C\mid u1\right)$  -prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli z 1 urny

 

Korzystamy ze wzoru Bayesa (dostosowanego do treści tego zadania):

$P\left(u1\mid C\right)=\frac{P\left(C\mid u1\right)\cdot P\left(u1\right)}{P\left(C\right)}$  

Obliczmy prawdopodobieństwo całkowite wylosowania kuli czarnej:

$P\left(C\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{10}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{8}=\frac{1}{10}+\frac{3}{16}=\frac{46}{160}=\frac{23}{80}$  

Zauważmy, że:

$P\left(u1\right)=\frac{1}{2}$  

(ponieważ wylosowanie kuli z urny 1 jak i 2 jest tak samo prawdopodobne)

$P\left(C\mid u1\right)=\frac{2}{10}$  

(ponieważ w 1 urnie znajdują się 10 kul w tym 2 czarne)

 

Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z 1 urny:

$P\left(u1\mid C\right)=\frac{\frac{2}{10}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{23}{80}}=\frac{1}{10}\cdot \frac{80}{23}=\frac{8}{23}$  

 

Odp.: C