Skorzystamy z twierdzenia o reszcie:

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x - a jest równa W(a). 

---

a) Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x - 1 wynosi 3,

korzystając z twierdzenia o reszcie otrzymujemy, że

$W\left(1\right)=3\left(\text{*}\right)$

reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x + 4 wynosi 8,

z twierdzenia o reszcie dostajemy 

$W\left(-4\right)=8\left(\text{**}\right)$

Reszta R(x) z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian 

$V\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$

będzie wielomianem pierwszego stopnia takim, że

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot V\left(x\right)+R\left(x\right)$  

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot \left(x-1\right)\left(x+4\right)+ax+b$  

korzystając z (*) i (**) dostajemy układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}W\left(1\right)=3\\ W\left(-4\right)=8\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a+b=3\\ -4a+b=8\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}b=3-a\\ -4a+3-a=8\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}b=3-a\\ -5a=5\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}b=3-a\\ a=-1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=4\\ a=-1\end{array}$

czyli 

$R\left(x\right)=-x+4$  

---

b) Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x - 1 wynosi 5,

korzystając z twierdzenia o reszcie otrzymujemy, że

$W\left(1\right)=5\left(\text{*}\right)$

reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x + 1 wynosi 1,

z twierdzenia o reszcie dostajemy 

$W\left(-1\right)=1\left(\text{**}\right)$

Reszta R(x) z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian 

$V\left(x\right)=x^2-1=\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

będzie wielomianem pierwszego stopnia takim, że

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot V\left(x\right)+R\left(x\right)$  

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot \left(x-1\right)\left(x+1\right)+ax+b$  

korzystając z (*) i (**) dostajemy układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}W\left(1\right)=5\\ W\left(-1\right)=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a+b=5\\ -a+b=1\end{array}$    

dodając równania stronami otrzymamy 

$2b=6$

$b=3$

wstawiając b = 3 np. do pierwszego równania otrzymamy 

$a+3=5$

$a=2$

czyli 

$R\left(x\right)=2x+3$  

---

c) Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x - 2 wynosi 9,

korzystając z twierdzenia o reszcie otrzymujemy, że

$W\left(2\right)=9\left(\text{*}\right)$

reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x + 3 wynosi -11,

z twierdzenia o reszcie dostajemy 

$W\left(-3\right)=-11\left(\text{**}\right)$

Reszta R(x) z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian 

$V\left(x\right)=x^2+x-6=x^2\underset{=x}{\underbrace{-2x+3x}}-6=x\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)$

będzie wielomianem pierwszego stopnia takim, że

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot V\left(x\right)+R\left(x\right)$  

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot \left(x-2\right)\left(x+3\right)+ax+b$  

korzystając z (*) i (**) dostajemy układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}W\left(2\right)=9\\ W\left(-3\right)=-11\end{array}$

$\{\begin{array}{l}2a+b=9\\ -3a+b=-11\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}b=9-2a\\ -3a+9-2a=-11\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}b=9-2a\\ -5a=-20\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}b=9-2a\\ a=4\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}b=1\\ a=4\end{array}$   

czyli 

$R\left(x\right)=4x+1$  

---

d) Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x - 1 wynosi 2,

korzystając z twierdzenia o reszcie otrzymujemy, że

$W\left(1\right)=2\left(\text{*}\right)$

reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x - 2 wynosi -1,

z twierdzenia o reszcie dostajemy 

$W\left(2\right)=-1\left(\text{**}\right)$

reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x + 1 wynosi 4,

z twierdzenia o reszcie dostajemy 

$W\left(-1\right)=4\left(\text{***}\right)$

Reszta R(x) z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian 

$V\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)$

będzie wielomianem drugiego stopnia takim, że

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot V\left(x\right)+R\left(x\right)$  

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot \left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)+a{x}^2+bx+c$  

korzystając z (*), (**) i (***) dostajemy układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}W\left(1\right)=2\\ W\left(2\right)=-1\\ W\left(-1\right)=4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a+b+c=2\\ 4a+2b+c=-1\\ a-b+c=4\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}c=2-a-b\\ 4a+2b+2-a-b=-1\\ a-b+2-a-b=4\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}c=2-a-b\\ 3a+b=-3\\ -2b=2\Rightarrow b=-1\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}c=2-a+1\\ 3a-1=-3\\ b=-1\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}c=3-a\\ 3a=-2\\ b=-1\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}c=3-a\\ a=-\frac{2}{3}\\ b=-1\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}c=\frac{11}{3}\\ a=-\frac{2}{3}\\ b=-1\end{array}$   

czyli 

$R\left(x\right)=-\frac{2}{3}{x}^2-x+\frac{11}{3}$