$\text{a)}{x}^2\left(x-2\right)=5x-6$

$x^3-2x^2-5x+6=0$

Wiemy, że liczba 1 jest rozwiązaniem powyższego równania.

Zatem korzystając z twierdzenia Bezouta dostajemy, że wielomian 

$x^3-2x^2-5x+6$  

jest podzielny przez dwumian x - 1. 

Dzieląc wielomiany (schematem Hornera) dostajemy 

	$1$	$-2$	$-5$	$6$
$1$	$1$	$-1$	$-6$	$0$

więc

$x^3-2x^2-5x+6=\left(x-1\right)\left(x^2-x-6\right)$  

Znajdziemy pierwiastki wielomianu

$x^2-x-6$

$\Delta =1-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$

$\sqrt{\Delta }=5$

więc równanie ma dwa rozwiązania

$x_1=\frac{1-5}{2}=-2$

$x_2=\frac{1+5}{2}=3$

czyli pierwiastkami podanego równania są liczby 

$x_1=1,x_2=-2,x_3=3$

---

$\text{b)}x\left(x^2+6x+4\right)=16$

$x^3+6x^2+4x-16=0$

Wiemy, że liczba -4 jest rozwiązaniem powyższego równania.

Zatem korzystając z twierdzenia Bezouta dostajemy, że wielomian 

$x^3+6x^2+4x-16$  

jest podzielny przez dwumian x + 4. 

Dzieląc wielomiany (schematem Hornera) dostajemy 

	$1$	$6$	$4$	$-16$
$-4$	$1$	$2$	$-4$	$0$

więc

$x^3+6x^2+4x-16=\left(x+4\right)\left(x^2+2x-4\right)$  

Znajdziemy pierwiastki wielomianu

$x^2+2x-4$

$\Delta =4-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=4+16=20$

$\sqrt{\Delta }=2\sqrt{5}$

więc równanie ma dwa rozwiązania

$x_1=\frac{-2-2\sqrt{5}}{2}=-1-\sqrt{5}$

$x_2=\frac{-2+2\sqrt{5}}{2}=-1+\sqrt{5}$

czyli pierwiastkami podanego równania są liczby 

$x_1=-4,x_2=-1-\sqrt{5},x_3=-1+\sqrt{5}$

---

$\text{c)}{x}^5-\left(x^2-x\right)\left(x^2+x\right)={\left(x-2\right)}^2$

$x^5-\left(x^4-x^2\right)=x^2-4x+4$

$x^5-x^4+4x-4=0$    

$x^4\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)=0$

$\left(x-1\right)\left(x^4+4\right)=0$

więc

  $x-1=0\text{lub}{x}^4+4=0$   

$x=1\text{lub}{x}^4=-4\left(\text{sprz.}\right)$  

zatem rozwiązaniem równania jest 

$x=1$

---

$\text{d)}{\left(2x\right)}^2\left(2x-13\right)=5\left(15-22x\right)$

$4x^2\left(2x-13\right)=75-110x$

$8x^3-52x^2+110x-75=0$     

Wiemy, że liczba 1,5 jest rozwiązaniem powyższego równania.

Zatem korzystając z twierdzenia Bezouta dostajemy, że wielomian 

$8x^3-52x^2+110x-75$  

jest podzielny przez dwumian x - 1,5. 

Dzieląc wielomiany (schematem Hornera) dostajemy 

	$8$	$-52$	$110$	$-75$
$1,5$	$8$	$-40$	$50$	$0$

więc

$8x^3-52x^2+110x-75=\left(x-1,5\right)\left(8x^2-40x+50\right)$  

Znajdziemy pierwiastki wielomianu

$8x^2-40x+50$

$\Delta =1600-4\cdot 8\cdot 50=1600-1600=0$  

więc to rówanie ma jedno rozwiązanie

$x_0=\frac{40}{16}=\frac{5}{2}=2,5$

zatem rozwiązaniem podanego równania są liczby 

$x_1=1,5;x_2=2,5$   

---

$\text{e)}x\left({\left(x+2\right)}^2-35\right)=70$

$x\left(x^2+4x+4-35\right)=70$

$x^3+4x^2-31x-70=0$   

Wiemy, że liczba -2 jest rozwiązaniem powyższego równania.

Zatem korzystając z twierdzenia Bezouta dostajemy, że wielomian 

$x^3+4x^2-31x-70$  

jest podzielny przez dwumian x + 2. 

Dzieląc wielomiany (schematem Hornera) dostajemy 

	$1$	$4$	$-31$	$-70$
$-2$	$1$	$2$	$-35$	$0$

więc

$x^3+4x^2-31x-70=\left(x+2\right)\left(x^2+2x-35\right)$  

Znajdziemy pierwiastki wielomianu

$x^2+2x-35$

$\Delta =4-4\cdot 1\cdot \left(-35\right)=4+140=144$

$\sqrt{\Delta }=12$   

więc równanie ma dwa rozwiązania

$x_1=\frac{-2-12}{2}=-7$

$x_2=\frac{-2+12}{2}=5$  

zatem rozwiązaniem podanego równania są liczby 

$x_1=-2;x_2=-7,x_3=5$

---

$\text{f)}{x}^3+\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}+3\right)x^2-\left(\sqrt{18}-1\right)x$

$x^3-\left(\sqrt{2}+3\right)x^2+\left(3\sqrt{2}-1\right)x+\sqrt{2}=0$

Wiemy, że liczba √2 jest rozwiązaniem powyższego równania.

Zatem korzystając z twierdzenia Bezouta dostajemy, że wielomian 

$x^3-\left(\sqrt{2}+3\right)x^2+\left(3\sqrt{2}-1\right)x+\sqrt{2}$  

jest podzielny przez dwumian x - √2. 

Dzieląc wielomiany (schematem Hornera) dostajemy 

	$1$	$-\left(\sqrt{2}+3\right)$	$3\sqrt{2}-1$	$\sqrt{2}$
$\sqrt{2}$	$1$	$-3$	$-1$	$0$

więc

$x^3-\left(\sqrt{2}+3\right)x^2+\left(3\sqrt{2}-1\right)x+\sqrt{2}=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x^2-3x-1\right)$  

Znajdziemy pierwiastki wielomianu

$x^2-3x-1$

$\Delta =9-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=9+4=13$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{13}$   

więc równanie ma dwa rozwiązania

$x_1=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$

$x_2=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$  

zatem rozwiązaniem podanego równania są liczby 

$x_1=\sqrt{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2},x_3=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$