$\text{a)}10x^4-3x^3+9x^2-3x-1=0$

Korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych dostajemy, że jeżeli wielomian

$W\left(x\right)=10x^4-3x^3+9x^2-3x-1$  

ma pierwiastek całkowity to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego. 

Dzielnikami wyrazu wolnego są liczby 

$1,-1$  

Sprawdźmy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem wielomianu.

Obliczmy 

$W\left(1\right)=10-3+9-3-1=12\ne 0$

$W\left(-1\right)=10\cdot {\left(-1\right)}^4-3\cdot {\left(-1\right)}^3+9\cdot {\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)-1=10+3+9+3-1=24\ne 0$

Żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu,  zatem wielomian W(x) nie ma pierwiastków całkowitych, tym samym podane równanie także nie ma pierwiastków całkowitych. 

c.n.d.

---

$\text{b)}{x}^4+6x^2-x+9=0$

Korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych dostajemy, że jeżeli wielomian

$W\left(x\right)=x^4+6x^2-x+9$  

ma pierwiastek całkowity to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego. 

Dzielnikami wyrazu wolnego są liczby 

$1;-1;3;-3,9,-9$  

Sprawdźmy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem wielomianu.

Obliczmy 

$W\left(1\right)=1+6-1+9=15\ne 0$

$W\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4+6\cdot {\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)+9=1+6+1+9=17\ne 0$

$W\left(3\right)=3^4+6\cdot 3^2-3+9=81+54-3+9=141\ne 0$  

$W\left(-3\right)={\left(-3\right)}^4+6\cdot {\left(-3\right)}^2-\left(-3\right)+9=81+54+3+9=147\ne 0$  

$W\left(9\right)=9^4+6\cdot 9^2-9+9=6561+486=7047\ne 0$  

$W\left(-9\right)={\left(-9\right)}^4+6\cdot {\left(-9\right)}^2-\left(-9\right)+9=6561+486+9+9=7065\ne 0$  

Żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu,  zatem wielomian W(x) nie ma pierwiastków całkowitych, tym samym podane równanie także nie ma pierwiastków całkowitych. 

c.n.d.

---

$\text{c)}2x^3+3x^2-6x+2=0$

Korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych dostajemy, że jeżeli wielomian

$W\left(x\right)=2x^3+3x^2-6x+2$  

ma pierwiastek całkowity to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego. 

Dzielnikami wyrazu wolnego są liczby 

$1;-1;2;-2$  

Sprawdźmy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem wielomianu.

Obliczmy 

$W\left(1\right)=2+3-6+2=1\ne 0$

$W\left(-1\right)=2\cdot {\left(-1\right)}^3+3\cdot {\left(-1\right)}^2-6\cdot \left(-1\right)+2=-2+3+6+2=9\ne 0$

$W\left(2\right)=2\cdot 2^3+3\cdot 2^2-6\cdot 2+2=16+12-12+2=18\ne 0$  

$W\left(-2\right)=2\cdot {\left(-2\right)}^3+3\cdot {\left(-2\right)}^2-6\cdot \left(-2\right)+2=-16+12+12+2=10\ne 0$

Żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu,  zatem wielomian W(x) nie ma pierwiastków całkowitych, tym samym podane równanie także nie ma pierwiastków całkowitych. 

c.n.d.

---

$\text{d)}{x}^4-x^3-5x^2+5x-3=0$

Korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych dostajemy, że jeżeli wielomian

$W\left(x\right)=x^4-x^3-5x^2+5x-3$  

ma pierwiastek całkowity to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego. 

Dzielnikami wyrazu wolnego są liczby 

$1;-1;3;-3$  

Sprawdźmy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem wielomianu.

Obliczmy 

$W\left(1\right)=1-1-5+5-3=-3\ne 0$

$W\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4-{\left(-1\right)}^3-5\cdot {\left(-1\right)}^2+5\cdot \left(-1\right)-3=1+1-5-5-3=-11\ne 0$

$W\left(3\right)=3^4-3^3-5\cdot 3^2+5\cdot 3-3=81-27-45+15-3=21\ne 0$  

$W\left(-3\right)={\left(-3\right)}^4-{\left(-3\right)}^3-5\cdot {\left(-3\right)}^2+5\cdot \left(-3\right)-3=81+27-45-15-3=45\ne 0$  

Żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu,  zatem wielomian W(x) nie ma pierwiastków całkowitych, tym samym podane równanie także nie ma pierwiastków całkowitych. 

c.n.d.