Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta:  

$P=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \alpha$

gdzie a i b są długościami boków trójkąta, 𝛼 miarą kąta między tymi bokami.  

---

a) Wiedząc, że 

$a=5,b=7,\alpha ={50}^{\circ }$  

obliczmy pole narysowanego trójkąta

$P=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot \sin {50}^{\circ }=\frac{35}{2}\cdot \sin {50}^{\circ }$

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy

$\sin {50}^{\circ }\approx 0,7660$

więc

$P=\frac{35}{2}\cdot \sin {50}^{\circ }\approx 17,5\cdot 0,7660\approx 13,4$    

---

b) Wiedząc, że 

$a=5,b=4,\alpha ={97}^{\circ }$  

Korzystając ze wzoru redukcyjnego:

$\sin \left({180}^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha$

dostajemy 

$\sin {97}^{\circ }=\sin \left({180}^{\circ }-{83}^{\circ }\right)=\sin {83}^{\circ }$   

obliczmy pole narysowanego trójkąta

$P=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4\cdot \sin {97}^{\circ }=10\cdot \sin {83}^{\circ }$

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy

$\sin {83}^{\circ }\approx 0,9925$

więc

$P=10\cdot \sin {83}^{\circ }\approx 10\cdot 0,9925\approx 9,93$    

---

c) Zauważmy, że narysowany równoległobok możemy podzielić (krótszą przekątną) na dwa trójkąty przystające takie jak na poniższym rysunku

Obliczmy pole każdego z tych trójkątów:

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5\cdot \sin {78}^{\circ }=15\cdot \sin {78}^{\circ }$

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy

$\sin {78}^{\circ }\approx 0,9781$

Zatem pole równoległoboku jest równe

$P=2\cdot P_{\Delta }=2\cdot 15\cdot \sin {78}^{\circ }=30\cdot \sin {78}^{\circ }\approx 30\cdot 0,9781\approx 29,3$  

---

d) Zauważmy, że narysowany równoległobok możemy podzielić (krótszą przekątną) na dwa trójkąty przystające takie jak na poniższym rysunku

Korzystając ze wzoru redukcyjnego:

$\sin \left({180}^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha$

dostajemy 

$\sin {131}^{\circ }=\sin \left({180}^{\circ }-{49}^{\circ }\right)=\sin {49}^{\circ }$   

Obliczmy pole każdego z tych trójkątów:

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 7\cdot \sin {131}^{\circ }=7\cdot \sin {49}^{\circ }$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy

$\sin {49}^{\circ }\approx 0,7547$

Zatem pole równoległoboku jest równe

$P=2\cdot P_{\Delta }=2\cdot 7\cdot \sin {49}^{\circ }=14\cdot \sin {49}^{\circ }\approx 14\cdot 0,7547\approx 10,6$