Skorzystamy z następujących związków między funkcjami trygonometrycznymi:

$\text{1)}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$\text{2)}\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

---

$\text{a)}\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{1+2\sin \alpha \cos \alpha }$  

Zauważmy, że obie strony równania są nieujemne (ponieważ 𝛼 jest kątem ostrym, dlatego wartości funkcji sinus i cosinus są większe od zera).

Zatem podnosząc równanie stronami do kwadratu otrzymamy:

${\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2={\left(\sqrt{1+2\sin \alpha \cos \alpha }\right)}^2$

${\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =1+2\sin \alpha \cos \alpha$  

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Zauważmy, że przekształcając podaną równość w sposób równoważny otrzymaliśmy równość prawdziwą dla każdego  kąta 𝛼.

Zatem podana równość jest prawdziwa. 

---

$\text{b)}\cos \alpha -\frac{1}{\cos \alpha }=-\mathrm{tg}\alpha \sin \alpha$

Rozpisując lewą stronę równania otrzymamy:

$L=\cos \alpha -\frac{1}{\cos \alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha -1}{\cos \alpha }=\frac{-\left(1-{\cos }^2\alpha \right)}{\cos \alpha }\stackrel{\text{1)}}{=}$    

$=-\frac{{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }=-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \sin \alpha =-\mathrm{tg}\alpha \sin \alpha =P$  

zatem

$L=P$

czyli równość jest prawdziwa. 

---

  $\text{c)}\sin \alpha -\frac{1}{\sin \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\mathrm{tg}\alpha }=0$

Rozpisując lewą stronę równania otrzymamy:

$L=\sin \alpha -\frac{1}{\sin \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\mathrm{tg}\alpha }\stackrel{\text{2)}}{=}\frac{{\sin }^2\alpha -1}{\sin \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}=$

 

$=\frac{-\left(1-{\sin }^2\alpha \right)}{\sin \alpha }+\cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\stackrel{\text{1)}}{=}-\frac{{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha }=0=P$    

zatem

$L=P$

czyli równość jest prawdziwa. 

---

  $\text{d)}\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$

Rozpisując lewą stronę równania otrzymamy:

$L=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }=$

$=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }\stackrel{\text{1)}}{=}\frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }=P$    

zatem

$L=P$

czyli równość jest prawdziwa. 

---

  $\text{e)}\left(1-\sin \alpha \right)\left(\sin \alpha +1\right)={\cos }^2\alpha$

Rozpisując lewą stronę równania otrzymamy:

$L=\left(1-\sin \alpha \right)\left(\sin \alpha +1\right)=\left(1-\sin \alpha \right)\left(1+\sin \alpha \right)=1-{\sin }^2\alpha \stackrel{\text{1)}}{=}{\cos }^2\alpha =P$

zatem

$L=P$

czyli równość jest prawdziwa. 

---

  $\text{f)}{\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2+{\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2=2$

Rozpisując lewą stronę równania otrzymamy:

$L={\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2+{\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2={\sin }^2\alpha +\cancel{2\sin \alpha \cos \alpha }+{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha -\cancel{2\sin \alpha \cos \alpha }+{\cos }^2\alpha =$

$=2{\sin }^2\alpha +2{\cos }^2\alpha =2\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)\stackrel{\text{1)}}{=}2\cdot 1=2=P$  

zatem

$L=P$

czyli równość jest prawdziwa. 

---

  $\text{g)}{\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =2{\sin }^2\alpha -1$

Rozpisując lewą stronę równania otrzymamy:

$L={\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)\left({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha \right)\stackrel{\text{1)}}{=}1\cdot \left({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha \right)=$

$={\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha \stackrel{\text{1)}}{=}{\sin }^2\alpha -\left(1-{\sin }^2\alpha \right)=2{\sin }^2\alpha -1=P$  

zatem

$L=P$

czyli równość jest prawdziwa. 

---

  $\text{h)}\frac{1-2{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\mathrm{tg}\alpha -\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$

Rozpisując lewą stronę równania otrzymamy:

$L=\frac{1-2{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{1-{\cos }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=$

$=\frac{{\sin }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }-\frac{{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\stackrel{\text{2)}}{=}\mathrm{tg}\alpha -\frac{1}{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}\stackrel{\text{2)}}{=}\mathrm{tg}\alpha -\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }=P$  

zatem

$L=P$

czyli równość jest prawdziwa.