$a\text{)}W\left(x\right)=x^3+2x^2-7x+4$  

Pierwiastkami tego wielomianu mogą być dzielniki wyrazu wolnego, zatem jest to jedna z liczb:

$\left\{-4,-2,-1,1,2,4\right\}$  

Sprawdźmy czy, któraś z tych liczb jest rozwiązaniem:  

$W\left(-4\right)={\left(-4\right)}^3+2\cdot {\left(-4\right)}^2-7\cdot \left(-4\right)+4=-64+32+28+4=-64+64=0$  

Liczba $-4$   jest pierwiastkiem tego wielomianu, zatem wielomian tej jest podzielny przez dwumian  $x+4$  

wykonajmy dzielenie pisemne:

zatem:

$x^3+2x^2-7x+4=\left(x+4\right)\left(x^2-2x+1\right)=\left(x+4\right){\left(x-1\right)}^2$  

---

$b\text{)}W\left(x\right)=3x^3+13x^2+7x+1$  

Pierwiastkami tego wielomianu mogą być liczby postaci $\frac{p}{q}$  :

(gdzie p-dzielnik wyrazu wolnego, q- dzielnik współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej)

$\left\{-3,-1,-\frac{1}{3},\frac{1}{3},1,3\right\}$  

Sprawdźmy czy, któraś z tych liczb jest rozwiązaniem:

$W\left(-3\right)=3\cdot {\left(-3\right)}^3+13\cdot {\left(-3\right)}^2+7\cdot \left(-3\right)+1=-81+117-21+1=16\ne 0$  

$W\left(-1\right)=3\cdot {\left(-1\right)}^3+13\cdot {\left(-1\right)}^2+7\cdot \left(-1\right)+1=-3+13-7+1=4\ne 0$  

$W\left(-\frac{1}{3}\right)=3\cdot {\left(-\frac{1}{3}\right)}^3+13\cdot {\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+7\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+1=$  

$=3\cdot \left(-\frac{1}{27}\right)+13\cdot \frac{1}{9}-\frac{7}{3}+1=-\frac{1}{9}+\frac{13}{9}-\frac{21}{9}+\frac{9}{9}=\frac{22}{9}-\frac{22}{9}=0$  

Liczba $-\frac{1}{3}$   jest pierwiastkiem tego wielomianu, zatem wielomian tej jest podzielny przez dwumian  $x+\frac{1}{3}$  

wykonajmy dzielenie pisemne:

zatem:

$3x^3+13x^2+7x+1=\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(3x^2+12x+3\right)$  

Sprawdźmy czy trójmian  $3x^2+12x+3$  jest rozkładalny:

$\Delta ={12}^2-4\cdot 3\cdot 3=144-36=108$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$  

$x_1=\frac{-12-6\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{-12-6\sqrt{3}}{6}=-2-\sqrt{3}$  

$x_1=\frac{-12+6\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{-12+6\sqrt{3}}{6}=-2+\sqrt{3}$  

więc:

$3x^2+12x+3=3\left(x+2+\sqrt{3}\right)\left(x+2-\sqrt{3}\right)$  

Zatem:

$3x^3+13x^2+7x+1=3\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x+2+\sqrt{3}\right)\left(x+2-\sqrt{3}\right)=$  

$=\left(3x+1\right)\left(x+2+\sqrt{3}\right)\left(x+2-\sqrt{3}\right)$