$a\text{)}W\left(x\right)=x^3+4x^2+x-6,p=1$  

zatem wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian $x-1$  .

Wykonajmy dzielenie pisemne:

zatem:

  $W\left(x\right)=x^3+4x^2+x-6=\left(x-1\right)\left(x^2+5x+6\right)$  

Sprawdźmy czy trójmian $x^2+5x+6$   jest rozkładalny:

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$  

$\sqrt{\Delta }=1$  

$x_1=\frac{-5-1}{2}=\frac{-6}{2}=-3$  

$x_2=\frac{-5+1}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

więc:

$x^2+5x+6=\left(x+3\right)\left(x+2\right)$  

czyli:

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)$  

---

$b\text{)}W\left(x\right)=x^3+x^2-7x-3,p=-3$  

zatem wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian $x+3$  .

Wykonajmy dzielenie pisemne:

zatem:

  $W\left(x\right)=x^3+x^2-7x-3=\left(x+3\right)\left(x^2-2x-1\right)$  

Sprawdźmy czy trójmian $x^2-2x-1$   jest rozkładalny:

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=4+4=8$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$  

$x_1=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2}$  

$x_2=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}$  

więc:

$x^2-2x-1=\left(x-1+\sqrt{2}\right)\left(x-1-\sqrt{2}\right)$

czyli:

$W\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x-1+\sqrt{2}\right)\left(x-1-\sqrt{2}\right)$

---

$c\text{)}W\left(x\right)=4x^3+4x^2+3x-3,p=0,5$  

zatem wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian $x-0,5$  .

Wykonajmy dzielenie pisemne:

zatem:

  $W\left(x\right)=4x^3+4x^2+3x-3=\left(x-0,5\right)\left(4x^2+6x+6\right)$  

Sprawdźmy czy trójmian $4x^2+6x+6$   jest rozkładalny:

$\Delta =6^2-4\cdot 4\cdot 6=36-96=-60$  

ten trójmian jest nierozkładalny

czyli:

$W\left(x\right)=\left(x-0,5\right)\left(4x^2+6x+6\right)$  

---

$d\text{)}W\left(x\right)=9x^4-12x^3-11x^2-2x,p=2$  

zatem wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian $x-2$  .

Wykonajmy dzielenie pisemne:

zatem:

  $W\left(x\right)=9x^4-12x^3-11x^2-2x=\left(x-2\right)\left(9x^3+6x^2+x\right)=\left(x-2\right)\cdot x\cdot \left(9x^2+6x+1\right)$  

Sprawdźmy czy trójmian $9x^2+6x+1$   jest rozkładalny:

$\Delta =6^2-4\cdot 9\cdot 1=36-36=0$  

$\sqrt{\Delta }=0$  

$x_1=\frac{-6}{2\cdot 9}=-\frac{6}{18}=-\frac{1}{3}$  

więc:

$9x^2+6x+1=9{\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2$  

czyli:

$W\left(x\right)=9x\left(x-2\right){\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2$