I liceum

I technikum

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony. Reforma 2019

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia podanych prostych.&nbsp; y=2x+2 y=21​x+21​ &nbsp;&nbsp; Mamy więc:&nbsp;

f(x)=(x+2)2−4 &nbsp; Wzór funkcji f zapisano w postaci kanonicznej. Możemy więc odczytać, że:&nbsp; <ul> <li>a = 1,

Wyznaczamy pierwiastki każdego z równań. Wybieramy to równanie, którego pierwiastkami są liczby 2 i -2.&nbsp; A. x2−2=0   ∣+2 x2=2 &nbsp;&nbsp;

Rozwiązując zadanie skorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.&nbsp; (a+b)(a−b)=a2−b2 &nbsp; Podane wyrażenie zapisujemy w prostszej postaci.&nbsp;

Wyznaczamy rozwiązania podanego równania.&nbsp; x3+100=0   ∣−100 x3=−100 &nbsp;&nbsp; x=3−100<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ &nbsp; Określamy teraz między jakimi liczbami na osi liczbowej leży liczba x.&nbsp; −125 &lt; −100 &lt; −64 &nbsp; 3−125<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ &lt; 3−100<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ &lt; 3−64<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ &nbsp;  −5   &lt;  3−100<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ &lt; −4 &nbsp; Zatem:&nbsp; 3−100<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​∈⟨−6;−4) &nbsp; Poprawna odpowiedź: D.&nbsp;

0∘&lt;α&lt;90∘ &nbsp; Wyznaczamy miarę kąta&nbsp; α &nbsp;.&nbsp; 23−2cosα​=1   ∣⋅2 &nbsp;

Zauważmy, że wykres funkcji f powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji&nbsp; g(x)=x1​ &nbsp; o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.&nbsp; Zatem:&nbsp;

Jeśli różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest konkretną liczbą rzeczywistą (nie wyrażeniem algebraicznym), to ciąg jest arytmetyczny.&nbsp; r = an+1 - an&nbsp; Sprawdzamy, który z podanych ciągów jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = -2.&nbsp; A. an+1​=2(n+1)−2=2n+2−2=2n an​=2n−2 &nbsp;&nbsp; Zatem:&nbsp;

(an) - ciąg geometryczny a5​=16 a8​=54 &nbsp;&nbsp; Obliczamy ile wynosi iloraz (q) tego ciągu.&nbsp;

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia podanych prostych.&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3f48a831bcfcf223228d0462e0d675fb53792695b279f08a85648955e57ec35a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3f48a831bcfcf223228d0462e0d675fb53792695b279f08a85648955e57ec35a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a8c0ee6599ca4f69e8e3df2e8d1394b6ebd3dd0b6395018a7e053d931ba51662_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a8c0ee6599ca4f69e8e3df2e8d1394b6ebd3dd0b6395018a7e053d931ba51662_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; Mamy więc:&nbsp;

Wyznaczamy pierwiastki każdego z równań. Wybieramy to równanie, którego pierwiastkami są liczby 2 i -2.&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/aa6e142f4244f719d609e7f76c77312c1769577801edc9ce8de2590feae438af_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/aa6e142f4244f719d609e7f76c77312c1769577801edc9ce8de2590feae438af_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fad1151c881e3daac7f660589992440990a4ef8527238a055476ed42e8584f37_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fad1151c881e3daac7f660589992440990a4ef8527238a055476ed42e8584f37_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp;

Rozwiązując zadanie skorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/93020d8f647484d19a30c19e42bc0e2807ca173580aa5926998dd8c1ebe634eb_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/93020d8f647484d19a30c19e42bc0e2807ca173580aa5926998dd8c1ebe634eb_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Podane wyrażenie zapisujemy w prostszej postaci.&nbsp;

Wyznaczamy rozwiązania podanego równania.&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/14da3d4e45491e841287cb3afe88a55f6e1197fbbe84a89cceb2b37366a0731f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/14da3d4e45491e841287cb3afe88a55f6e1197fbbe84a89cceb2b37366a0731f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/80b27bfba8ddbe71f6799815a521a2565cea21691ad3cdb543cfe870a88ee862_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/80b27bfba8ddbe71f6799815a521a2565cea21691ad3cdb543cfe870a88ee862_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c3c74c1d1a57f6675ff2dd2c28569ed5774f981a58ff3f54c7e2578d37b39335_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c3c74c1d1a57f6675ff2dd2c28569ed5774f981a58ff3f54c7e2578d37b39335_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Określamy teraz między jakimi liczbami na osi liczbowej leży liczba x.&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f229cab7ca0da699a68cdcd8dc1053d272f47661e43edf2f158af210abb86ad7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f229cab7ca0da699a68cdcd8dc1053d272f47661e43edf2f158af210abb86ad7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dd4dd5dea9bb7d8f58ca0d31bbf7690436c20d48d4564234058cdde6c8f1ede4_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dd4dd5dea9bb7d8f58ca0d31bbf7690436c20d48d4564234058cdde6c8f1ede4_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5a3f645b102544306e8d5d993e39a6d9457132bc8ee6b46b062ece741bac77f7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5a3f645b102544306e8d5d993e39a6d9457132bc8ee6b46b062ece741bac77f7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zatem:&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/634fdc1bf1cc642b15f24803f3a3d7994ac7cde12fee860872bc7a1265944984_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/634fdc1bf1cc642b15f24803f3a3d7994ac7cde12fee860872bc7a1265944984_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Poprawna odpowiedź: D.&nbsp;

Zauważmy, że wykres funkcji f powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a230ad2d992e9072ba4c6901a3c06b12ba1341d41e46896dc8b12ce5e77ccdc8_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a230ad2d992e9072ba4c6901a3c06b12ba1341d41e46896dc8b12ce5e77ccdc8_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.&nbsp; Zatem:&nbsp;

Jeśli różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest konkretną liczbą rzeczywistą (nie wyrażeniem algebraicznym), to ciąg jest arytmetyczny.&nbsp; r = an+1 - an&nbsp; Sprawdzamy, który z podanych ciągów jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = -2.&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b170df76497c41d00dcebf192768c8810e653b69669529bc9730b4ecd951d359_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b170df76497c41d00dcebf192768c8810e653b69669529bc9730b4ecd951d359_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6c8f72bc7ed1c4c98fb011a701b2704ae7b3ddc8841212aa8769283872b4c44b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6c8f72bc7ed1c4c98fb011a701b2704ae7b3ddc8841212aa8769283872b4c44b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; Zatem:&nbsp;

(an) - ciąg geometryczny <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dd57de333c4c7e9612ac613c120fa8f479ba7f48c5dd3cb5bdd405e7dc0d8a82_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dd57de333c4c7e9612ac613c120fa8f479ba7f48c5dd3cb5bdd405e7dc0d8a82_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d5ef55472e8f92dfb67c3d7a30e6041bd23c70b316f057c20e2f49e264df6d93_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d5ef55472e8f92dfb67c3d7a30e6041bd23c70b316f057c20e2f49e264df6d93_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; Obliczamy ile wynosi iloraz (q) tego ciągu.&nbsp;

Komentarze