a)

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów w trójkącie BSC:

$a^2=b^2+b^2-2\cdot b\cdot b\cdot \cos \beta$  

 

$a^2=2b^2-2\cdot b^2\cos \beta$  

 

$a^2-2b^2=-2\cdot b^2\cos \beta \mid :\left(-2b^2\right)$  

 

$\frac{-a^2+2b^2}{2b^2}=\cos \beta$   

 

 

Odcinek OC jest połową przekątnej, a więc jego długość to:

$\left|OC\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$   

 

Popatrzmy na trójkąt OSC - możemy zapisać dla niego dwa równania: 

  $\frac{H}{b}=\sin \alpha \to {\sin }^2\alpha =\frac{H^2}{b^2}$   

 

$b^2=H^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2$    

$b^2=H^2+\frac{a^2}{2}$  

$b^2-\frac{a^2}{2}=H^2$  

$H^2=\frac{2b^2-a^2}{2}$  

 

 

Chcemy uzasadnić równość:

$\cos \beta ={\sin }^2\alpha$  

 

$L=\cos \beta =\frac{-a^2+2b^2}{2b^2}$  

 

$P={\sin }^2\alpha =\frac{H^2}{b^2}=\frac{\frac{2b^2-a^2}{2}}{b^2}=\frac{2b^2-a^2}{2b^2}=L$  

 

 

---

b)

$\beta ={60}^{\circ }$  

$b=4$  

 

Zauważmy, że trójkąt SBC jest na pewno równoramienny (ponieważ odcinki SB i SC mają równe długości). Wiemy jednak, że kąt  $\beta$   ma miarę  ${60}^{\circ }$  , a więc trójkąt SBC jest również trójkątem równobocznym.

 

Obliczmy pole podstawy ostrosłupa:

$P_P=4\cdot 4=16$  

 

Wiemy, że:

${\sin }^2\alpha =\cos \beta$  

A więc:

$\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$  

 

${\sin }^2\alpha =\frac{1}{2}$                

 

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{1}{2}}$  

 

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Z tego wynika, że:

$\alpha ={45}^{\circ }$  

 

Podstawa ostrosłupa jest kwadratem o boku długości 4.

Długość odcinka AC jest więc równa:

$\left|AC\right|=4\sqrt{2}$  

 

Odcinek OC jest połową odcinka AC:

$\left|OP\right|=\frac{1}{2}\left|AC\right|=2\sqrt{2}$  

 

Zauważmy, że trójkąt OSC jest prostokątny i równoramienny (ponieważ jego kąty mają miary ${90}^{\circ },{45}^{\circ },{45}^{\circ })$  . Wysokość ostrosłupa jest więc równa długości odcinka OC:

$H=\left|OS\right|=\left|OC\right|=2\sqrt{2}$  

 

 

Obliczmy objętość:

$V=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 2\sqrt{2}=\frac{32}{3}\sqrt{2}$