Wykonajmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy oznaczenia:

Niech $d$   oznacza długość przekątnej podstawy. Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów i obliczmy tę długość:

$d^2=2^2+3^3-2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos {60}^{\circ }$  

 

$d^2=4+9-12\cdot \frac{1}{2}$  

 

$d^2=13-6$  

 

$d^2=7$  

 

$\underline{d=\sqrt{7}}$       

 

Popatrzmy na trójkąt ABC -  z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

$a^2+b^2=7$  

 

W trójkącie CHG:

$a^2+h^2=9$  

 

W trójkącie AHE:

$b^2+h^2=4$  

 

Otrzymaliśmy układ 3 równań z trzema niewiadomymi:

$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=7\\ a^2+h^2=9\\ b^2+h^2=4\end{array}$        

  

$\{\begin{array}{l}{b}^2=7-a^2\\ h^2=9-a^2\\ 7-a^2+9-a^2=4\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}{b}^2=7-a^2\\ h^2=9-a^2\\ -2a^2=-12\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}{b}^2=7-a^2\\ h^2=9-a^2\\ a^2=6\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}{b}^2=7-6\\ h^2=9-6\\ a^2=6\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}{b}^2=1\\ h^2=3\\ a^2=6\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}b=1\\ h=\sqrt{3}\\ a=\sqrt{6}\end{array}$  

 

Obliczmy objętość tego prostopadłościanu:

$V=abh=\sqrt{6}\cdot 1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$  

 

 

---

Zaznaczmy na rysunku kąt nachylenia płaszczyzny przekroju do podstawy:

   

  $\sin \alpha =\frac{h}{h_1}$   - musimy więc wyznaczyć  $h_1$  

 

Pole trójkąta ACH możemy zapisać na dwa sposoby:

$P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\cdot \sin {60}^{\circ }=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$   

$P=\frac{1}{2}d\cdot h_1=\frac{1}{2}\sqrt{7}\cdot h_1$   

 

$\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{7}\cdot h_1\mid \cdot 2\sqrt{7}$   

 

$3\sqrt{21}=7h_1\mid :7$    

 

$\frac{3\sqrt{21}}{7}=h_1$   

 

A więc: 

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{\frac{3\sqrt{21}}{7}}=\sqrt{3}\cdot \frac{7}{3\sqrt{21}}=\frac{7\sqrt{3}\cdot \sqrt{21}}{3\cdot \sqrt{21}\cdot \sqrt{21}}=\frac{7\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{7}}{3\cdot 21}=\frac{7\cdot 3\cdot \sqrt{7}}{3\cdot 21}=\frac{\sqrt{7}}{3}$