Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

Równanie prostej w postaci ogólnej możemy zapisać jako:

$ax+y+c=0$  

 

Aby zapisać równanie opisujące wszystkie możliwe proste przechodzące przez punkt A, podstawmy jego współrzędne do powyższego równania i wyznaczmy współczynnik c:

$7a-1+c=0$  

$c=1-7a$      

 

A więc równania prostych przechodzących przez punkt A mają postać:

$ax+y+1-7a=0$  

 

Szukamy takich prostych przechodzących przez punkt A, aby były one styczne do okręgu - proste są styczne do okręgu wtedy, kiedy odległość środka okręgu od prostej jest równa promieniowi okręgu. 

Środek okręgu ma współrzędne  $\left(0,0\right)$  

 

$d=\frac{\left|0\cdot a+0\cdot 1+1-7a\right|}{\sqrt{a^2+1^2}}=\frac{\left|1-7a\right|}{\sqrt{a^2+1}}$  

 

$\frac{\left|1-7a\right|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{10}\mid {\left(\right)}^2$  

 

$\frac{{\left(1-7a\right)}^2}{a^2+1}=10\mid \cdot \left(a^2+1\right)$  

 

$1-14a+49a^2=10a^2+10$  

 

$-9-14a+39a^2=0$  

 

$\Delta =\left(-14\right)-4\cdot \left(-9\right)\cdot 39=196+1404=1600$  

$\sqrt{1600}=40$  

 

$a_1=\frac{14+40}{2\cdot 39}=\frac{54}{2\cdot 39}=\frac{27}{39}=\frac{9}{13}$  

 

$a_2=\frac{14-40}{2\cdot 39}=\frac{-26}{2\cdot 39}=-\frac{13}{39}=-\frac{1}{3}$  

 

$c=1-7a$  

$c_1=1-7\cdot \frac{9}{13}=1-\frac{63}{13}=-\frac{50}{13}$  

 

$c_2=1+7\cdot \frac{1}{3}=1+\frac{7}{3}=1+2\frac{1}{3}=3\frac{1}{3}$   

 

A więc równania prostych stycznych do okręgu, które przechodzą przez punkt A, to:

$\frac{9}{13}x+y-\frac{50}{13}=0$   - równanie prostej AB

 

$-\frac{1}{3}x+y+3\frac{1}{3}=0$   - równanie prostej AC

 

   

Wiemy, że trójkąt ABC jest równoramienny, oraz że bok AB jest jego podstawą - a więc prosta CD jest prostopadła do prostej AB, i dodatkowo przechodzi ona przez środek okręgu.

Równanie prostej AB przekształćmy do postaci kierunkowej:

$\frac{9}{13}x+y-\frac{50}{13}=0$

$y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}$     

 

Współczynnik kierunkowy prost CD:

$a{}^{\prime }=\frac{-1}{-\frac{9}{13}}=\frac{13}{9}$  

 

$y=\frac{13}{9}x$   - równanie prostej CD.

 

Wyznaczmy współrzędne punktu D (leży on w punkcie przecięcia prostych CD i AB):

$\{\begin{array}{l}y=\frac{13}{9}x\mid \cdot \left(-1\right)\\ y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\end{array}$    

 

$\{\begin{array}{l}-y=-\frac{13}{9}x\\ y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\end{array}$  

 

Dodajmy stronami oba równania:

$-y+y=-\frac{13}{9}x-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}$  

 

$-\frac{50}{13}=-\frac{169}{117}x-\frac{81}{117}x$   

 

$-\frac{50}{13}=-\frac{250}{117}x\mid :250$  

 

$-\frac{1}{5\cdot 13}=-\frac{1}{117}x\mid \cdot \left(-117\right)$    

 

$\frac{117}{5\cdot 13}=x$   

 

$x=\frac{9}{5}$      

 

$y=\frac{13}{9}x$  

$y=\frac{13}{9}\cdot \frac{9}{5}=\frac{13}{5}$  

 

A więc współrzędne punktu D to:

$D=\left(\frac{9}{5};\frac{13}{5}\right)$  

 

 

Wyznaczmy współrzędne punktu C (leży on w punkcie przecięcia się prostych AC i DC):

$\{\begin{array}{l}y=\frac{13}{9}x\mid \cdot \left(-1\right)\\ y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\end{array}$     

 

 

$\{\begin{array}{l}-y=-\frac{13}{9}x\\ y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\end{array}$  

 

Dodajmy stronami oba równania:

$-y+y=-\frac{13}{9}x+\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}$  

 

$\frac{10}{3}=-\frac{13}{9}x+\frac{3}{9}x$  

 

$\frac{10}{3}=-\frac{10}{9}x\mid \cdot 9$         

 

$30=-10x:\left(-10\right)$  

 

$x=-3$  

 

  $y=\frac{13}{9}x$  

$y=\frac{13}{9}\cdot \left(-3\right)=-\frac{13}{3}$  

 

A więc współrzędne punktu C to:

$C=\left(-3,-\frac{13}{3}\right)$  

 

 

Wyznaczmy współrzędne wektora  $\overrightarrow{AD}$  :

$\overrightarrow{AD}=\left[\frac{9}{5}-7,\frac{13}{5}+1\right]=\left[-5\frac{1}{5};3\frac{3}{5}\right]$   

 

Współrzędne punktu B możemy otrzymać przesuwając punkt D o wektor  $\overrightarrow{AD}$  :

$D=\left(\frac{9}{5}-5\frac{1}{5};\frac{13}{5}+3\frac{3}{5}\right)=\left(-3\frac{2}{5},6\frac{1}{5}\right)$