Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Prosta jest osią symetrii czworokąta ABCD - a więc punkt D jest symetryczny do punktu B względem tej prostej.

 

Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt B.

$x-y+2=0$  

$x+2=y$  

$a=1$  

 

$a{}^{\prime }=\frac{-1}{1}=-1$  

 

$8=-1\cdot 0+b$  

$b=0$  

 

$y_{BD}=-x+8$  

        

Wyznaczmy współrzędne punktu przecięcia obu prostych - jest on środkiem odcinka BD:

$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ y=-x+8\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ -y=x-8\end{array}$  

 

Dodajmy stronami oba równania:

$y-y=x+2+x-8$  

$0=2x-6$  

$6=2x\mid :3$   

$x=3$        

 

$y=x+2=3+2=5$  

 

$S=\left(3,5\right)$  

 

Wyznaczmy współrzędne wektro  $\overrightarrow{BS}$  :

$\overrightarrow{BS}=\left[3-0,5-8\right]=\left[3,-3\right]$  

 

Współrzędne punktu D możemy uzyskać przesuwając punkt S o wektro  $\overrightarrow{BS}$  

$D=\left(3+3,5-3\right)=\left(6,2\right)$  

         

 

 

Wiemy z treści zadania, że w okrąg można wpisać czworokąt, kiedy sumy miar naprzeciwległych kątów są równe 180^o:

$\sphericalangle ABC+\sphericalangle ADC=\sphericalangle BAD+\sphericalangle BCD={180}^{\circ }$  

 

Prosta  $x-y+2=0$   jest osią symetrii tego czworokąta, a więc kąty  $\sphericalangle ABC$   i  $\sphericalangle ADC$   mają takie same miary (równe 90^o) - czyli trójkąty ABC i ADC są prostokątne.      

 

Wyznaczmy równanie prostej AD:

$\{\begin{array}{l}32=30a+b\\ 2=6a+b\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

 

{(32 = 30a + b),(-2 = -6a - b ):} 

 

Dodajmy stronami oba równania:

$32-2=30a+b-6a-b$  

 

$30=24a\mid :24$  

 

$a=\frac{30}{24}=\frac{5}{4}$  

 

$2=6a+b$  

$2=6\cdot \frac{5}{4}+b$  

$2=\frac{15}{2}+b$  

$b=-\frac{11}{2}$  

 

$y_{AD}=\frac{5}{4}x-\frac{11}{2}$  

 

 

Prosta CD jest prostopadła do  $y_{AD}$  , więc jej współczynnik kierunkowy to:

$a{}^{\prime }=\frac{-1}{\frac{5}{4}}=-\frac{4}{5}$  

 

Prosta CD przechodzi przez punkt D, a więc:

$2=6\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)+b$  

$2=-\frac{24}{5}+b$  

$b=\frac{34}{5}=6\frac{4}{5}$  

 

$y_{CD}=-\frac{4}{5}x+6\frac{4}{5}$  

 

Punkt C leży na przecięciu prostej CD oraz osi symetrii:

$\{\begin{array}{l}y=x+2\mid \cdot \left(-2\right)\\ y=-\frac{4}{5}x+6\frac{4}{5}\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}-y=-x-2\\ y=-\frac{4}{5}x+6\frac{4}{5}\end{array}$  

 

Dodajmy stronami oba równania:

$-y+y=-x-2-\frac{4}{5}x+6\frac{4}{5}$  

 

$0=-1\frac{4}{5}x+4\frac{4}{5}$  

 

$1\frac{4}{5}x=4\frac{4}{5}$  

 

$\frac{9}{5}x=\frac{24}{5}x\mid \cdot 5$  

 

$9x=24\mid :9$  

 

$x=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$       

     

$y=x+2$  

$y=2\frac{2}{3}+2=4\frac{2}{3}$  

 

$C=\left(2\frac{2}{3};4\frac{2}{3}\right)$