$\left(a_n\right)$   - nieskończony ciąg geometryczny

 

$S=\frac{a_1}{1-q}=\sqrt{15}$    - suma wyrazów tego ciągu

$\left|q\right|<1$   

 

Zapiszmy wyrażenie opisujące sumę kwadratów wyrazów ciągu  $a_n$  : 

$a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots =a_1^2+{\left(a_{1}q\right)}^2+{\left(a_1{q}^2\right)}^2\dots =a_1^2+a_1^2{q}^2+a_1^2{q}^4\dots =a_1\left(a_1+a_1{q}^2+a_1{q}^4+\dots \right)$          - zauważmy, że ta suma jest iloczynem pierwszego wyrazu ciągu  $\left(a_n\right)$   , oraz iloczynu ciągu geometrycznego o ilorazie równym  $q^2$  .

 

$S{}^{\prime }=a_1\cdot \frac{a_1}{1-q^2}=\frac{a_1^2}{1-q^2}$    - suma kwadratów wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$      

 

 

Analogicznie zapiszmy sumę czwartych potęg:

$a_1^4+a_2^4+a_3^4+\dots =a_1^4+{\left(a_{1}q\right)}^4+{\left(a_1{q}^2\right)}^4\dots =a_1^4+a_1^4{q}^4+a_1^4{q}^8\dots =a_1^3\left(a_1+a_1{q}^4+a_1{q}^8+\dots \right)$  

Tym razem suma jest iloczynem sześcianu pierwszego wyrazu ciągu  $\left(a_n\right)$   oraz sumy pewnego nieskończonego ciągu o ilorazie równym  $q^4$  

 

$S{}^{\prime \prime }=a_1^3\cdot \frac{a_1}{1-q^4}=\frac{a_1^4}{1-q^4}$