a)

Wyznaczmy iloraz wyrazów  $\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)$   - jeżeli będzie on stały (niezależny od n), to dany ciąg jest geometryczny.

 

$a_{n+1}={\left(\frac{p}{1-p}\right)}^{2\left(n+1\right)+1}={\left(\frac{p}{1-p}\right)}^{2n+2+1}={\left(\frac{p}{1-p}\right)}^{2n+3}$  

 

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{{\left(\frac{p}{1-p}\right)}^{2n+3}}{{\left(\frac{p}{1-p}\right)}^{2n+1}}={\left(\frac{p}{1-p}\right)}^{2n+3}\cdot {\left(\frac{p}{1-p}\right)}^{-\left(2n+1\right)}={\left(\frac{p}{1-p}\right)}^{2n+3}\cdot {\left(\frac{p}{1-p}\right)}^{-2n-1}={\left(\frac{p}{1-p}\right)}^{2n+3-2n-1}={\left(\frac{p}{1-p}\right)}^2$    - a więc dla  $p\ne 1$   ciąg jest geometryczny.

 

b)