$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{n^2}{n+2}-\frac{{\left(n+2\right)}^2}{n+444}\right)$  

 

Zauważmy, że gdybyśmy próbowali obliczyć tę granicę, dzieląc granicę różnicy na różnicę granic, to otrzymamy  $\infty -\infty$  :

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{n^2}{n+2}-\frac{{\left(n+2\right)}^2}{n+444}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n+2}-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(n+2\right)}^2}{n+444}=\infty -\infty$  

 

Musimy więc spróbować obliczyć tę granicę w inny sposób.

Przekształćmy wyrażenie, którego granicę obliczamy:      

$\frac{n^2}{n+2}-\frac{{\left(n+2\right)}^2}{n+444}=\frac{n^2\left(n+444\right)-{\left(n+2\right)}^2\cdot \left(n+2\right)}{\left(n+2\right)\cdot \left(n+444\right)}=\frac{n^3+444n^2-{\left(n+2\right)}^3}{\left(n+2\right)\cdot \left(n+444\right)}=$  

 

$=\frac{n^3+444n^2-\left(n^3+3n^2\cdot 2+3n\cdot 2^2+2^3\right)}{n^2+444n+2n+888}=$   

 

$=\frac{n^3+444n^2-n^3-6n^2-12n-8}{n^2+446n+888}=$                  

 

$=\frac{438n^2-12n-8}{n^2+446n+888}$  

 

Obliczmy granicę tego wyrażenia:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{438n^2-12n-8}{n^2+446n+888}=$  

 

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2\left(438-\frac{12}{n}-\frac{8}{n^2}\right)}{n^2\left(1+\frac{446}{n}+\frac{888}{n^2}\right)}=$      

 

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{438-\frac{12}{n}-\frac{8}{n^2}}{1+\frac{446}{n}+\frac{888}{n^2}}=\underline{438}$