$1+{\cos }^{2}x+4{\cos }^{4}x+\dots =m$  

 

Zauważmy, że wyrażenie po lewej stronie jest szeregiem geometrycznym o ilorazie równym:

$q=2{\cos }^{2}x$   

 

Wyznaczmy, dla jakich argumentów x ten ciąg jest zbieżny:

$\left|2{\cos }^{2}x\right|<1$  

 

$\left|2{\cos }^{2}x\right|<\frac{1}{2}$     

 

$-\frac{1}{2}<{\cos }^{2}x<\frac{1}{2}$   

 

Kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc na pewno większą niż $-\frac{1}{2}$    - możemy więc pominąć lewą część nierówności:

${\cos }^{2}x<\frac{1}{2}$           

 

$-\frac{\sqrt{2}}{2}<\cos x<\frac{\sqrt{2}}{2}$  

 

Naszkicujmy cosinusoidę:

 

$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$   

$-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\cos \frac{\pi }{4}=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{5}{4}\pi$  

$\cos \frac{\pi }{4}=\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(-\frac{\pi }{4}+2\pi \right)=\cos \frac{7}{4}\pi =\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\cos \frac{5}{4}\pi =\cos \left(-\frac{5}{4}\pi \right)=\cos \left(-\frac{5}{4}\pi +\pi \right)=\cos \frac{3}{4}\pi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

     

Powyższa nierówność jest spełniona dla:

$x\in \left(\frac{\pi }{4}+2k\pi ;\frac{3}{4}\pi +2k\pi \right)\cup \left(\frac{5}{4}\pi +2k\pi ;\frac{7}{4}\pi +2k\pi \right)$  

 

Możemy zapisać ten zbiór w prostszej postaci:

$x\in \left(\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{3}{4}\pi +k\pi \right),k\in \mathbb{C}$   - dla takich x ciąg jest zbieżny.