Przypomnijmy wzór na styczną do wykresu funkcji f przechodzącą przez punkt (x₀, f(x₀)).

$y-f\left(x_0\right)=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$  

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

---

a) Wyznaczmy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=6x+1$   

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=6x_0+1$   

Zatem  $6x_0+1$  to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji f.

 

Wyznaczmy równanie prostej k w postaci kierunkowej.

$x-5y-10=0$  

$-5y=-x+10\mid :\left(-5\right)$  

$y=\frac{1}{5}x-2$  

Prosta prostopadła do tej prostej jest postaci:

$y=-5x+b$  

Zatem styczna do wykresu f w punkcie A jest postaci y=-5x+b.

Zatem otrzymujemy:

$6x_0+1=-5\mid -1$  

$6x_0=-6\mid :6$  

$x_0=-1$  

 

Wyznaczmy równanie tej stycznej.

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

$y=-5\left(x+1\right)+3\cdot {\left(-1\right)}^2-1-2$  

$y=-5\left(x+1\right)$  

$y=-5x-5$  

Zatem:

$y_0=-5\cdot \left(-1\right)-5$  

$y_0=5-5$  

$y_0=0$  

Szukany punkt ma współrzędne A(-1, 0).

---

b) Wyznaczmy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(3-x\right){}^{\prime }\left(1-x\right)-\left(3-x\right)\left(1-x\right){}^{\prime }}{{\left(1-x\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-\left(1-x\right)-\left(3-x\right)\cdot \left(-1\right)}{{\left(1-x\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-1+x+3-x}{{\left(1-x\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2}{{\left(1-x\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{2}{{\left(1-x_0\right)}^2}$  

Zatem  $\frac{2}{{\left(1-x_0\right)}^2}$   to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji f.

 

Wyznaczmy równanie prostej k w postaci kierunkowej.

$2x+y-5=0$  

$y=-2x+5$  

Prosta prostopadła do tej prostej jest postaci:

$y=\frac{1}{2}x+b$  

Zatem styczna do wykresu f w punkcie A jest postaci $y=\frac{1}{2}x+b.$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{2}{{\left(1-x_0\right)}^2}=\frac{1}{2}\mid \cdot 2{\left(1-x_0\right)}^2$  

$4={\left(1-x_0\right)}^2$  

$2^2={\left(1-x_0\right)}^2$  

$2=\left|1-x_0\right|$  

$1-x_0=2\vee 1-x_0=-2$  

$-1=x_0\vee x_0=3$

 

Przypadek I.

$x_0=-1$  

Wyznaczmy równanie tej stycznej.

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

$y=\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{3+1}{1+1}$  

$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{4}{2}$  

$y=\frac{1}{2}x+2\frac{1}{2}$  

Zatem:

$y_0=\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)+2\frac{1}{2}$  

$y_0=-\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}$  

$y_0=2$

$A\left(-1,2\right)$  

 

Przypadek II.

$x_0=3$  

Wyznaczmy równanie tej stycznej.

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

$y=\frac{1}{2}\left(x-3\right)+\frac{3-3}{1-3}$  

$y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$  

Zatem:

$y_0=\frac{1}{2}\cdot 3-\frac{3}{2}$  

$y_0=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}$  

$y_0=0$  

$A\left(3,0\right)$  

 

Szukany punkt ma współrzędne A(-1, 2) lub A(3, 0).

---

c) Wyznaczmy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-2{}^{\prime }\cdot x^5+2\cdot \left(x^5\right){}^{\prime }}{x^{10}}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{10x^4}{x^{10}}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{10}{x^6}$  

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{10}{x_0^6}$  

Zatem  $\frac{10}{{\left(x_0\right)}^6}$   to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji f.

 

Wyznaczmy równanie prostej k w postaci kierunkowej.

$x+10y=0$  

$10y=-x$  

$y=-\frac{1}{10}x$  

prosta prostopadła do tej prostej:

$y=10x+b$  

Zatem styczna do wykresu f w punkcie A jest postaci $y=10x+b.$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{10}{{\left(x_0\right)}^6}=10\mid :10$  

$\frac{1}{{\left(x_0\right)}^6}=1$  

$1={\left(x_0\right)}^6$  

$x_0=1\vee x_0=-1$  

 

Przypadek I.

$x_0=1$  

Wyznaczmy równanie tej stycznej:

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

$y=10\left(x-1\right)-\frac{2}{1^5}$  

$y=10x-10-2$  

$y=10x-12$  

Zatem:

$y_0=10-12$  

$y_0=-2$  

$A\left(1,-2\right)$  

 

Przypadek II.

$x_0=-1$  

Wyznaczmy równanie tej stycznej:

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

$y=10\left(x+1\right)-\frac{2}{{\left(-1\right)}^5}$  

$y=10x+10+2$  

$y=10x+12$  

Zatem:

$y_0=10\cdot \left(-1\right)+12$  

$y_0=-10+12$  

$y_0=2$  

$A\left(-1,2\right)$  

 

Szukany punkt ma współrzędne A(1, -2) lub A(-1, 2).

---

d) Wyznaczmy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(2x^2+3x\right){}^{\prime }\left(4x+2\right)-\left(2x^2+3x\right)\left(4x+2\right){}^{\prime }}{{\left(4x+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(4x+3\right)\left(4x+2\right)-\left(2x^2+3x\right)\cdot 4}{{\left(4x+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{16x^2+8x+12x+6-8x^2-12x}{{\left(4x+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{8x^2+8x+6}{{\left(4x+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{8x_0^2+8x_0+6}{{\left(4x_0+2\right)}^2}$  

Zatem  $\frac{8x_0^2+8x_0+6}{{\left(4x_0+2\right)}^2}$   to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji f.

 

Wyznaczmy równanie prostej k w postaci kierunkowej.

$2x+3y-3=0$  

$3y=-2x+3\mid :3$  

$y=-\frac{2}{3}x+1$  

Prosta prostopadła do tej prostej jest postaci:

$y=\frac{3}{2}x+b$  

Zatem styczna do wykresu f w punkcie A jest postaci $y=\frac{3}{2}x+b.$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{8x_0^2+8x_0+6}{{\left(4x_0+2\right)}^2}=\frac{3}{2}$  

$16x_0^2+16x_0+12=3{\left(4x_0+2\right)}^2$  

$16x_0^2+16x_0+12=3\left(16x_0^2+16x_0+4\right)$  

$16x_0^2+16x_0+12=48x_0^2+48x_0+12\mid -12$  

$16x_0^2+16x_0=48x_0^2+48x_0$  

$0=32x_0^2+32x_0\mid :32$  

$0=x_0^2+x_0$  

$0=x_0\left(x_0+1\right)$  

$x_0=0\vee x_0=-1$  

 

Przypadek I.

$x_0=0$  

Wyznaczamy równanie stycznej.

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

$y=\frac{3}{2}\left(x+0\right)+\frac{2\cdot 0^2+3\cdot 0}{4\cdot 0+2}$  

$y=\frac{3}{2}x$  

Zatem:

$y_0=\frac{3}{2}\cdot 0$  

$y_0=0$  

$A\left(0,0\right)$  

 

Przypadek II.

$x_0=-1$  

Wyznaczamy równanie stycznej.

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

$y=\frac{3}{2}\left(x+1\right)+\frac{2\cdot {\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)}{4\cdot \left(-1\right)+2}$  

$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}+\frac{2-3}{-4+2}$  

$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}+\frac{-1}{-2}$  

$y=\frac{3}{2}x+2$  

Zatem:

$y_0=\frac{3}{2}\cdot \left(-1\right)+2$    

$y_0=-\frac{3}{2}+2$  

$y_0=\frac{1}{2}$  

$A\left(-1,\frac{1}{2}\right)$  

 

Szukany punkt ma współrzędne A(0, 0) lub A(-1, ¹/₂).