Przypomnijmy wzór na styczną do wykresu funkcji f przechodzącą przez punkt (x₀, f(x₀)).

$y-f\left(x_0\right)=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$  

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

---

a) Wyznaczmy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-4x+1$   

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=-4x_0+1$   

Zatem  $-4x_0+1$  to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji f.

 

Wyznaczmy równanie prostej k w postaci kierunkowej.

$5x-y-2=0$  

$5x-2=y$  

Zatem styczna do wykresu f w punkcie A jest postaci y=5x+b.

Zatem otrzymujemy:

$-4x_0+1=5\mid -1$  

$-4x_0=4\mid :\left(-4\right)$  

$x_0=-1$  

 

Wyznaczmy równanie tej stycznej.

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

$y=5\left(x+1\right)+\left(-2\right)\cdot {\left(-1\right)}^2-1+1$  

$y=5\left(x+1\right)-2$  

$y=5x+5-2$  

$y=5x+3$  

Zatem:

$y_0=5\cdot \left(-1\right)+3$  

$y_0=-5+3$  

$y_0=-2$  

Szukany punkt ma współrzędne A(-1, -2).

---

b) Wyznaczmy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right){}^{\prime }\left(x+4\right)-\left(x-1\right)\left(x+4\right){}^{\prime }}{{\left(x+4\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x+4\right)-\left(x-1\right)}{{\left(x+4\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{x+4-x+1}{{\left(x+4\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{4}{{\left(x_0+4\right)}^2}$  

Zatem  $\frac{5}{{\left(x_0+4\right)}^2}$   to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji f.

 

Wyznaczmy równanie prostej k w postaci kierunkowej.

$x-5y+5=0$  

$x+5=5y\mid :5$  

$\frac{1}{5}x+1=y$  

Zatem styczna do wykresu f w punkcie A jest postaci $y=\frac{1}{5}x+b.$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{5}{{\left(x_0+4\right)}^2}=\frac{1}{5}\mid \cdot {\left(x_0+4\right)}^2$  

$5=\frac{1}{5}{\left(x_0+4\right)}^2\mid \cdot 5$  

$25={\left(x_0+4\right)}^2$  

$5^2={\left(x_0+4\right)}^2$  

$5=\left|x_0+4\right|$  

$5=x_0+4\vee -5=x_0+4$  

$1=x_0\vee -9=x_0$  

 

Przypadek I.

$x_0=1$  

Wyznaczmy równanie tej stycznej.

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

$y=\frac{1}{5}\left(x-1\right)+\frac{1-1}{1+4}$  

$y=\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}$  

Zatem:

$y_0=\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{1}{5}$  

$y_0=0$  

$A\left(1,0\right)$  

 

Przypadek II.

$x_0=-9$  

Wyznaczmy równanie tej stycznej.

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

$y=\frac{1}{5}\left(x+9\right)+\frac{-9-1}{-9+4}$  

$y=\frac{1}{5}x+\frac{9}{5}+\frac{-10}{-5}$  

$y=\frac{1}{5}x+1\frac{4}{5}+2$  

$y=\frac{1}{5}x+3\frac{4}{5}$  

Zatem:

$y_0=\frac{1}{5}\cdot \left(-9\right)+3\frac{4}{5}$  

$y_0=-\frac{9}{5}+3\frac{4}{5}$  

$y_0=-1\frac{4}{5}+3\frac{4}{5}$  

$y_0=2$  

$A\left(-9,2\right)$  

 

Szukany punkt ma współrzędne A(1, 0) lub A(-9, 2).

---

c) Wyznaczmy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-3{}^{\prime }\cdot x^4+3\cdot \left(x^4\right){}^{\prime }}{x^8}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{3\cdot 4x^3}{x^8}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{12}{x^5}$  

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{12}{x_0^5}$  

Zatem  $\frac{12}{{\left(x_0\right)}^5}$   to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji f.

 

Wyznaczmy równanie prostej k w postaci kierunkowej.

$12x-y-8=0$  

$12x-8=y$  

Zatem styczna do wykresu f w punkcie A jest postaci $y=12x+b.$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{12}{{\left(x_0\right)}^5}=12\mid :12$  

$\frac{1}{{\left(x_0\right)}^5}=1$  

$1={\left(x_0\right)}^5$  

$1=x_0$  

 

Wyznaczmy równanie tej stycznej:

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

$y=12\left(x-1\right)+\frac{-3}{1^4}$  

$y=12x-12-3$  

$y=12x-15$  

Zatem:

$y_0=12\cdot 1-15$  

$y_0=-3$  

 

Szukany punkt ma współrzędne A(1, -3).

---

d) Wyznaczmy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(3x^2\right){}^{\prime }\left(2x-1\right)-3x^2\left(2x-1\right){}^{\prime }}{{\left(2x-1\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{6x\left(2x-1\right)-3x^2\cdot 2}{{\left(2x-1\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{12x^2-6x-6x^2}{{\left(2x-1\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{6x^2-6x}{{\left(2x-1\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{6x_0^2-6x_0}{{\left(2x_0-1\right)}^2}$  

Zatem  $\frac{6x_0^2-6x_0}{{\left(2x_0-1\right)}^2}$   to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji f.

 

Wyznaczmy równanie prostej k w postaci kierunkowej.

$4x-3y-21=0$  

$-3y=-4x+21\mid :\left(-3\right)$  

$y=\frac{4}{3}x-7$  

Zatem styczna do wykresu f w punkcie A jest postaci $y=\frac{4}{3}x+b.$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{6x_0^2-6x_0}{{\left(2x_0-1\right)}^2}=\frac{4}{3}$  

$18x_0^2-18x_0=4{\left(2x_0-1\right)}^2$  

$18x_0^2-18x_0=4\left(4x_0^2-4x_0+1\right)$  

$18x_0^2-18x_0=16x_0^2-16x_0+4$  

$2x_0^2-2x_0-4=0\mid :2$  

$x_0^2-x_0-2=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$  

$x_1=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_2=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$  

 

Przypadek I.

$x_0=-1$  

Wyznaczamy równanie stycznej.

$y=\frac{4}{3}\left(x+1\right)+\frac{3\cdot {\left(-1\right)}^2}{2\cdot \left(-1\right)-1}$  

$y=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}+\frac{3}{-3}$  

$y=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}-1$  

$y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$  

Zatem:

$y_0=\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)+\frac{1}{3}$  

$y_0=-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}$  

$y_0=-1$  

$A\left(-1,-1\right)$  

 

Przypadek II.

$x_0=2$  

Wyznaczamy równanie stycznej.

$y=\frac{4}{3}\left(x-2\right)+\frac{3\cdot 2^2}{2\cdot 2-1}$  

$y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}+\frac{3\cdot 4}{3}$  

$y=\frac{4}{3}x-2\frac{2}{3}+4$  

$y=\frac{4}{3}x+1\frac{1}{3}$  

Zatem:

$y_0=\frac{4}{3}\cdot 2+1\frac{1}{3}$    

$y_0=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}$  

$y_0=\frac{12}{3}$  

$y_0=4$  

$A\left(2,4\right)$  

 

Szukany punkt ma współrzędne A(-1, -1) lub A(2, 4).