Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Matematyka

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy (Podręcznik, Nowa Era)

Określ przedziały monotoniczności ... 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Wierzchołek paraboli jest punktem przecięcia paraboli z jej osią symetrii.

Parabola o równaniu `y=a(x-p)^2+q` powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji `y=ax^2` (`a!=0`)

o `p` jednostek wzdłuż osi `x` i o `q` jednostek wzdłuż osi `y`.    

 

`a)`   Wykres paraboli o równaniu `f(x)=3(x-2)^2+1` powstał przez przesunięcie wykresu funkcji `y=3x^2`

`2` jednostki w prawo i o `1` jednostkę w górę. Wierzchołek paraboli `f(x)=3(x-2)^2+1` 

ma współrzędne `(2, 1)`, zatem oś symetrii tej paraboli ma równanie `x=2`

Ramiona paraboli skierowane są do góry, ponieważ `a=3` jest większe od  `0`,

stąd w przedziale `(-oo, \ 2>>` funkcja maleje, a w przedziale `<< 2 , oo)` funkcja rośnie.   


`b)`  Wykres paraboli o równaniu `f(x)=-5(x+7)^2-2` powstał przez przesunięcie wykresu funkcji `y=-5x^2` 

`7` jednostek w lewo i o `2` jednostki w dół. Wierzchołek paraboli `f(x)=-5(x+7)^2-2` 

ma współrzędne `(-7, -2)`, zatem oś symetrii tej paraboli ma równanie `x=-7`

Ramiona paraboli skierowane są do dołu, ponieważ `a=-5` jest mniejsze od  `0`,

stąd w przedziale `(-oo,-7>>` funkcja rośnie, a w przedziale `<< -7,oo)` funkcja maleje. 


`c)`  Wykres paraboli o równaniu `f(x)=sqrt(2)(x-1)^2+sqrt(3)` powstał przez przesunięcie wykresu funkcji

`y=sqrt(2)x^2` o 1 jednostkę w prawo i o `sqrt(3)` w górę. Wierzchołek paraboli `f(x)=sqrt(2)(x-1)^2+sqrt(3)` 

ma współrzędne `(1, sqrt(3))`, zatem oś symetrii tej paraboli ma równanie `x=1`

Ramiona paraboli skierowane są do góry, ponieważ `a=sqrt(2)`  jest większe od `0`,

stąd w przedziale `(-oo, \ 1>>` funkcja maleje, a w przedziale `<< 1,oo)` funkcja rośnie. 


`d)`   Wykres paraboli o równaniu `f(x)=1/2(x+sqrt(3))^2-3` powstał przez przesunięcie wykresu funkcji `y=1/2x^2` ``    

`sqrt(3)` w lewo i o `3` jednostki w dół. Wierzchołek paraboli `f(x)=1/2(x+sqrt(3))^2-3` 

ma współrzędne `(-sqrt(3), -3)`, zatem oś symetrii tej paraboli ma równanie `x=-sqrt(3)` . 

Ramiona paraboli skierowane są do góry, ponieważ `a=1/2` jest większe od  `0`,

stąd w przedziale `(-oo, -sqrt(3)>>` funkcja maleje, a w przedziale `<< -sqrt(3), oo)` funkcja rośnie. 


`e)`   Wykres paraboli o równaniu `f(x)=-(x-3)^2+2sqrt(7)` powstał przez przesunięcie wykresu funkcji

`y=-x^2` o `3` jednostki w prawo i o `2sqrt(7)`  w górę. Wierzchołek paraboli `f(x)=-(x-3)^2+2sqrt(7)` 

ma współrzędne `(3, \ 2sqrt(7))`, zatem oś symetrii tej paraboli ma równanie `x=3`

Ramiona paraboli skierowane są do dołu, ponieważ `a=-1` jest mniejsze od  `0`,

stąd w przedziale `(-oo, \ 3>>` funkcja rośnie, a w przedziale `<< 3,oo)` funkcja maleje. 


`f)`   Wykres paraboli o równaniu `f(x)=10^3(x+sqrt(10))^2` powstał przez przesunięcie wykresu funkcji `y=10^3x^2` 

`sqrt(10)` w lewo. Wierzchołek paraboli `f(x)=10^3(x+sqrt(10))^2` ma współrzędne `(-sqrt(10), \ 0)`,

zatem oś symetrii tej paraboli ma równanie `x=-sqrt(10)`

Ramiona paraboli skierowane są do góry, ponieważ `a=10^3` jest większe od  `0`,

stąd w przedziale `(-oo, -sqrt(10)>>` funkcja maleje, a w przedziale `<< -sqrt(10), oo)` funkcja rośnie. 

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Maciej Antek, Krzysztof Belka, Piotr Grabowski
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
ISBN: 9878326725906
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Przedziały monotoniczności
Skoro pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja rośnie, czy maleje, to można na jej podstawie powiedzieć, w jakich przedziałach funkcja jest monotoniczna. Zasada jest oczywista: jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie - jeśli ujemna, maleje.

Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$

Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.

Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$$

Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$$
$$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$$

Skoro wiemy też, że przy największej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $$(-∞, x_1)$$ funkcja rośnie, w przedziale $$< x_1, x_2 >$$ - maleje i w przedziale $$(x_2, ∞)$$ - znowu rośnie.
 
Monotoniczność

Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.

Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo

Dla stałej y się nie zmienia

Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo

Zaznaczę na wykresie:

Rosnącą - kolor czerwony

Malejącą - kolor niebieski

Stałą - kolor zielony

wyk9

Pozostaje nam spisać przedziały

$$f↓$$ dla $$xϵ<-6;-3> $$

$$f→$$ dla $$ xϵ<-1;1>$$

$$f↑$$ dla $$ xϵ<-3;-1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<1;4> $$

 
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom