Określ przedziały monotoniczności ...

Skoro pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja rośnie, czy maleje, to można na jej podstawie powiedzieć, w jakich przedziałach funkcja jest monotoniczna. Zasada jest oczywista: jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie - jeśli ujemna, maleje.

Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$

Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.

Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$$

Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$$
$$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$$

Skoro wiemy też, że przy największej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $$(-∞, x_1)$$ funkcja rośnie, w przedziale $$< x_1, x_2 >$$ - maleje i w przedziale $$(x_2, ∞)$$ - znowu rośnie.
 

Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.

Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo

Dla stałej y się nie zmienia

Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo

Zaznaczę na wykresie:

Rosnącą - kolor czerwony

Malejącą - kolor niebieski

Stałą - kolor zielony



Pozostaje nam spisać przedziały

$$f↓$$ dla $$xϵ<-6;-3> $$

$$f→$$ dla $$ xϵ<-1;1>$$

$$f↑$$ dla $$ xϵ<-3;-1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<1;4> $$