2018-07-02T14:36:22+02:00
Określ przedziały monotoniczności ...
4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
Określ przedziały monotoniczności ...
2.4.
Zadanie
2.5.
Zadanie
2.6.
Zadanie
2.7.
Zadanie
2.8.
Zadanie
2.9.
Zadanie
2.10. Zadanie
Wierzchołek paraboli jest punktem przecięcia paraboli z jej osią symetrii.
Parabola o równaniu `y=a(x-p)^2+q` powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji `y=ax^2` (`a!=0`)
o `p` jednostek wzdłuż osi `x` i o `q` jednostek wzdłuż osi `y`.
`a)` Wykres paraboli o równaniu `f(x)=3(x-2)^2+1` powstał przez przesunięcie wykresu funkcji `y=3x^2`
o `2` jednostki w prawo i o `1` jednostkę w górę. Wierzchołek paraboli `f(x)=3(x-2)^2+1`
ma współrzędne `(2, 1)`, zatem oś symetrii tej paraboli ma równanie `x=2`.
Ramiona paraboli skierowane są do góry, ponieważ `a=3` jest większe od `0`,
stąd w przedziale `(-oo, \ 2>>` funkcja maleje, a w przedziale `<< 2 , oo)` funkcja rośnie.
`b)` Wykres paraboli o równaniu `f(x)=-5(x+7)^2-2` powstał przez przesunięcie wykresu funkcji `y=-5x^2`
o `7` jednostek w lewo i o `2` jednostki w dół. Wierzchołek paraboli `f(x)=-5(x+7)^2-2`
ma współrzędne `(-7, -2)`, zatem oś symetrii tej paraboli ma równanie `x=-7`.
Ramiona paraboli skierowane są do dołu, ponieważ `a=-5` jest mniejsze od `0`,
stąd w przedziale `(-oo,-7>>` funkcja rośnie, a w przedziale `<< -7,oo)` funkcja maleje.
`c)` Wykres paraboli o równaniu `f(x)=sqrt(2)(x-1)^2+sqrt(3)` powstał przez przesunięcie wykresu funkcji
`y=sqrt(2)x^2` o 1 jednostkę w prawo i o `sqrt(3)` w górę. Wierzchołek paraboli `f(x)=sqrt(2)(x-1)^2+sqrt(3)`
ma współrzędne `(1, sqrt(3))`, zatem oś symetrii tej paraboli ma równanie `x=1`.
Ramiona paraboli skierowane są do góry, ponieważ `a=sqrt(2)` jest większe od `0`,
stąd w przedziale `(-oo, \ 1>>` funkcja maleje, a w przedziale `<< 1,oo)` funkcja rośnie.
`d)` Wykres paraboli o równaniu `f(x)=1/2(x+sqrt(3))^2-3` powstał przez przesunięcie wykresu funkcji `y=1/2x^2` ``
o `sqrt(3)` w lewo i o `3` jednostki w dół. Wierzchołek paraboli `f(x)=1/2(x+sqrt(3))^2-3`
ma współrzędne `(-sqrt(3), -3)`, zatem oś symetrii tej paraboli ma równanie `x=-sqrt(3)` .
Ramiona paraboli skierowane są do góry, ponieważ `a=1/2` jest większe od `0`,
stąd w przedziale `(-oo, -sqrt(3)>>` funkcja maleje, a w przedziale `<< -sqrt(3), oo)` funkcja rośnie.
`e)` Wykres paraboli o równaniu `f(x)=-(x-3)^2+2sqrt(7)` powstał przez przesunięcie wykresu funkcji
`y=-x^2` o `3` jednostki w prawo i o `2sqrt(7)` w górę. Wierzchołek paraboli `f(x)=-(x-3)^2+2sqrt(7)`
ma współrzędne `(3, \ 2sqrt(7))`, zatem oś symetrii tej paraboli ma równanie `x=3`.
Ramiona paraboli skierowane są do dołu, ponieważ `a=-1` jest mniejsze od `0`,
stąd w przedziale `(-oo, \ 3>>` funkcja rośnie, a w przedziale `<< 3,oo)` funkcja maleje.
`f)` Wykres paraboli o równaniu `f(x)=10^3(x+sqrt(10))^2` powstał przez przesunięcie wykresu funkcji `y=10^3x^2`
o `sqrt(10)` w lewo. Wierzchołek paraboli `f(x)=10^3(x+sqrt(10))^2` ma współrzędne `(-sqrt(10), \ 0)`,
zatem oś symetrii tej paraboli ma równanie `x=-sqrt(10)`.
Ramiona paraboli skierowane są do góry, ponieważ `a=10^3` jest większe od `0`,
stąd w przedziale `(-oo, -sqrt(10)>>` funkcja maleje, a w przedziale `<< -sqrt(10), oo)` funkcja rośnie.
DYSKUSJA
Informacje
Prosto do matury 2. Zakres podstawowy (Podręcznik)Autorzy: Maciej Antek, Krzysztof Belka, Piotr Grabowski
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
2016
ISBN: 9878326725906
Autor rozwiązania
Wiedza
Przedziały monotoniczności
Skoro pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja rośnie, czy maleje, to można na jej podstawie powiedzieć, w jakich przedziałach funkcja jest monotoniczna. Zasada jest oczywista: jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie - jeśli ujemna, maleje.
Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$
Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.
Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$$
Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$$
$$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$$
Skoro wiemy też, że przy największej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $$(-∞, x_1)$$ funkcja rośnie, w przedziale $$< x_1, x_2 >$$ - maleje i w przedziale $$(x_2, ∞)$$ - znowu rośnie.
Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$
Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.
Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$$
Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$$
$$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$$
Skoro wiemy też, że przy największej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $$(-∞, x_1)$$ funkcja rośnie, w przedziale $$< x_1, x_2 >$$ - maleje i w przedziale $$(x_2, ∞)$$ - znowu rośnie.
Monotoniczność
Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.
Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo
Dla stałej y się nie zmienia
Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo
Zaznaczę na wykresie:
Rosnącą - kolor czerwony
Malejącą - kolor niebieski
Stałą - kolor zielony
Pozostaje nam spisać przedziały
$$f↓$$ dla $$xϵ<-6;-3> $$
$$f→$$ dla $$ xϵ<-1;1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<-3;-1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<1;4> $$
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
... i0razy podziękowaliście
© 2018 Odrabiamy.pl