$\text{a)}$  

 

$\text{b)}$  Obliczamy współrzędne punktu  $C:$  

$y=-\frac{3}{2}\cdot \left(-1\right)+3$  

$y=\frac{3}{2}+3$  

$y=4\frac{1}{2}$  

$C=\left(-1,4\frac{1}{2}\right)$  

Obliczamy współrzędne punktu  $A:$     

$y=\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)-3$  

$y=-\frac{2}{3}-3$  

$y=-3\frac{2}{3}$  

$A=\left(-1,-3\frac{2}{3}\right)$  

Obliczamy współrzędne punktu  $B:$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x-3\\ y=-\frac{3}{2}x+3\end{array}$     

$\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x-3\\ \frac{2}{3}x-3=-\frac{3}{2}x+3\text{/}\cdot 6\end{array}$     

$\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x-3\\ 4x-18=-9x+18\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x-3\\ 13x=36\text{/}:13\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x-3\\ x=\frac{36}{13}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}\cdot \frac{36}{13}-3\\ x=\frac{36}{13}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{24}{13}-\frac{39}{13}\\ x=\frac{36}{13}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{15}{13}\\ x=\frac{36}{13}\end{array}$  

$B=\left(\frac{36}{13},-\frac{15}{13}\right)$  

 

$\text{c)}$  Zauważmy, że zachodzi  $\frac{2}{3}=-\frac{1}{\frac{3}{2}},$  więc proste  $y=-\frac{3}{2}x+3$  i  $y=\frac{2}{3}x-3$  są prostopadłe.    

A to dowodzi, że trójkąt jest prostokątny.

 

$\text{d)}$  Niech  $R$  oznacza promień koła opisanego na trójkącie.

Trójkąt jest prostokątny, więc  $R=\frac{1}{2}\left|AC\right|.$  

Obliczamy długość odcinka  $AC:$      

 

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(4\frac{1}{2}+3\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(-1+1\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{9}{2}+\frac{11}{3}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{27+22}{6}\right)}^2}=\frac{49}{6}$    

Obliczamy promień:

$R=\frac{1}{2}\cdot \frac{49}{6}=\frac{49}{12}$  

Obliczamy pole koła opisanego na trójkącie:

$P=\pi R^2$  

$P=\pi \cdot {\left(\frac{49}{12}\right)}^2=\pi \cdot \frac{2401}{144}=\frac{2401}{144}\pi$  

Odp. Pole koła opisanego na trójkącie jest równe  $\frac{2401}{144}\pi .$