W zadaniu będziemy korzystać z metody rozwiązywania układów równań za pomocą wyznaczników.

Przypomnijmy twierdzenie, które będzie nam potrzebne:

Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$  

$\left(1\right)$  ma tylko jedno rozwiązanie, jeśli  $W\ne 0$   

$\{\begin{array}{l}x=\frac{W_x}{W}\\ y=\frac{W_y}{W}\end{array}$  

$\left(2\right)$  ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli  $W=W_x=W_y=0$  

$\left(3\right)$  nie ma rozwiązań, jeśli  $W=0\wedge \left(W_x\ne 0\vee W_y\ne 0\right),$  

gdzie  $W=\left|\begin{array}{c}{a}_1{b}_1\\ a_2{b}_2\end{array}\right|,W_x=\left|\begin{array}{c}{c}_1{b}_1\\ c_2{b}_2\end{array}\right|,W_y=\left|\begin{array}{c}{a}_1{c}_1\\ a_2{c}_2\end{array}\right|$   

 

$\text{a)}\{\begin{array}{l}ax+2y=-1\\ 8x+ay=a+6\end{array}$  

Obliczamy wyznaczniki:

$W=\left|\begin{array}{c}a2\\ 8a\end{array}\right|=a^2-16$  

$W_x=\left|\begin{array}{c}-12\\ a+6a\end{array}\right|=-a-2a-12=-3a-12=-3\left(a+4\right)$  

$W_y=\left|\begin{array}{c}a-1\\ 8a+6\end{array}\right|=a^2+6a+8$           

Sprawdzamy, dla jakich  $a$  wyznaczniki  $W,W_x$  i  $W_y$  są równe  $0:$   

$W=0$  

$a^2-16=0$   

$a^2=16$     

$a=-4\vee a=4$  

$W_x=0$   

$-3\left(a+4\right)=0$  

$a+4=0$  

$a=-4$  

$W_y=0$  

$a^2+6a+8=0$  

$a^2+2a+4a+8=0$   

$a\left(a+2\right)+4\left(a+2\right)=0$  

$\left(a+4\right)\left(a+2\right)=0$  

$a=-4\vee a=-2$  

Zatem:

$1)$