Dla jakich wartości parametru m...- Zadanie 1.159: Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

W zadaniu będziemy korzystać z metody rozwiązywania układów równań za pomocą wyznaczników.

Przypomnijmy twierdzenie, które będzie nam potrzebne:

Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$

$(1)$ ma tylko jedno rozwiązanie, jeśli $W \neq = 0$

${x = \frac{W _{x}}{W} y = \frac{W _{y}}{W}$

$(2)$ ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli $W = W_{x} = W_{y} = 0$

$(3)$ nie ma rozwiązań, jeśli $W = 0 \land (W_{x} \neq = 0 \lor W_{y} \neq = 0),$

gdzie $W = a_{1} b_{1} a_{2} b_{2}, W_{x} = c_{1} b_{1} c_{2} b_{2}, W_{y} = a_{1} c_{1} a_{2} c_{2}$

${x + y = m^{2} + 1 2 x + y = 3$

Obliczamy wyznaczniki:

$W = 1121 = 1 - 2 = - 1 \neq = 0$

$W_{x} = m^{2} + 11 31 = m^{2} + 1 - 3 = m^{2} - 2$

$W_{y} = 1 m^{2} + 1 23 = 3 - 2 (m^{2} + 1) = 3 - 2 m^{2} - 2 = 1 - 2 m^{2}$

$W \neq = 0,$ więc układ równań jest oznaczony i ma rozwiązanie. Wyznaczmy je:

${x = - m^{2} + 2 y = 2 m^{2} - 1$

Chcemy, by zachodziły warunki: $x \geq 2 \land y \geq - 1 .$ Stąd:

$- m^{2} + 2 \geq 2 \land 2 m^{2} - 1 \geq - 1$

$- m^{2} \geq 0 / : (- 1) \land 2 m^{2} \geq 0 / : 2$

$m^{2} \leq 0 \land m^{2} \geq 0$

$m = 0$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.