$\text{a)}\{\begin{array}{l}y=\left|2x\right|+3\\ y=x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2\left|x\right|+3\\ y=x+4\end{array}$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x\right|=\{\begin{array}{ll}x& \text{dla}x\ge 0\\ -x& \text{dla}x<0\end{array}$  

Po uwzględnieniu powyższych warunków otrzymujemy dwa przypadki:

$1)x\ge 0$  

$\{\begin{array}{l}y=2x+3\\ y=x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x+3\\ 2x+3=x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x+3\\ x=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2+3\\ x=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=5\\ x=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=5\end{array}$  

$2)x<0$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+3\\ y=x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+3\\ -2x+3=x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+3\\ -3x=1\text{/}:\left(-3\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+3\\ x=-\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+3\\ x=-\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}+3\\ x=-\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3\frac{2}{3}\\ x=-\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{3}\\ y=3\frac{2}{3}\end{array}$  

Odp.  $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=5\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{3}\\ y=3\frac{2}{3}\end{array}$  

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

$f\left(x\right)=2\left|x\right|+3,g\left(x\right)=x+4$  

$1)$  Szkicujemy wykres funkcji  $h\left(x\right)=2\left|x\right|.$  

$2)$  Przesuwamy wykres funkcji  $h$  o wektor  $\overrightarrow{u}=\left[0,3\right].$ Otrzymujemy wykres funkcji  $f.$  

$3)$  Szkicujemy wykres funkcji  $g.$  

$4)$  Odczytujemy współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji  $f$  i  $g.$  

  

Odp.  $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=5\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{3}\\ y=3\frac{2}{3}\end{array}$  

 

$\text{b)}\{\begin{array}{l}y=\left|x-1\right|+3\\ y=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4=\left|x-1\right|+3\\ y=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x-1\right|=1\\ y=4\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}x-1=1\\ y=4\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x-1=-1\\ y=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=0\\ y=4\end{array}$  

Odp.  $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=0\\ y=4\end{array}$  

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

$f\left(x\right)=\left|x-1\right|+3,g\left(x\right)=4$  

$1)$  Szkicujemy wykres funkcji  $h\left(x\right)=\left|x\right|.$  

$2)$  Przesuwamy wykres funkcji  $h$  o wektor  $\overrightarrow{u}=\left[1,3\right].$ Otrzymujemy wykres funkcji  $f.$  

$3)$  Szkicujemy wykres funkcji  $g.$  

$4)$  Odczytujemy współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji  $f$  i  $g.$  

Odp.  $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=0\\ y=4\end{array}$  

 

$\text{c)}\{\begin{array}{l}y=\left|x+3\right|-2\\ y=-x+3\end{array}$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x+3\right|=\{\begin{array}{ll}x+3& \text{dla}x\ge -3\\ -x-3& \text{dla}x<-3\end{array}$  

Po uwzględnieniu powyższych warunków otrzymujemy dwa przypadki:

$1)x\ge -3$  

$\{\begin{array}{l}y=x+3-2\\ y=-x+3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=-x+3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ x+1=-x+3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ 2x=2\text{/}:2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ x=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=1+1\\ x=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2\\ x=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}$  

$2)x<-3$  

$\{\begin{array}{l}y=-x-3-2\\ y=-x+3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-x-5\\ y=-x+3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-x-5\\ -x-5=-x+3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-x-5\\ -5=3\end{array}$   

Układ jest sprzeczny.

Odp.  $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}$  

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

$f\left(x\right)=\left|x+3\right|-2,g\left(x\right)=-x+3$  

$1)$  Szkicujemy wykres funkcji  $h\left(x\right)=\left|x\right|.$  

$2)$  Przesuwamy wykres funkcji  $h$  o wektor  $\overrightarrow{u}=\left[-3,-2\right].$ Otrzymujemy wykres funkcji  $f.$  

$3)$  Szkicujemy wykres funkcji  $g.$  

$4)$  Odczytujemy współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji  $f$  i  $g.$  

Odp.  $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}$  

 

$\text{d)}\{\begin{array}{l}\left|x\right|=1-y\\ 2x-y=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\left|x\right|+1\\ y=2x-3\end{array}$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x\right|=\{\begin{array}{ll}x& \text{dla}x\ge 0\\ -x& \text{dla}x<0\end{array}$  

Po uwzględnieniu powyższych warunków otrzymujemy dwa przypadki:

$1)x\ge 0$  

$\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y=2x-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ -x+1=2x-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ -3x=-4\text{/}:\left(-3\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ x=\frac{4}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{4}{3}+1\\ x=\frac{4}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}\\ x=\frac{4}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\frac{1}{3}\\ y=-\frac{1}{3}\end{array}$  

$2)x<0$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=2x-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ x+1=2x-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ x=4\end{array}$  

Układ jest sprzeczny, ponieważ otrzymaliśmy  $x>0.$  

Odp.  $\{\begin{array}{l}x=1\frac{1}{3}\\ y=-\frac{1}{3}\end{array}$  

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

$f\left(x\right)=-\left|x\right|+1,g\left(x\right)=2x-3$  

$1)$  Szkicujemy wykres funkcji  $h\left(x\right)=-\left|x\right|.$  

$2)$  Przesuwamy wykres funkcji  $h$  o wektor  $\overrightarrow{u}=\left[0,1\right].$ Otrzymujemy wykres funkcji  $f.$  

$3)$  Szkicujemy wykres funkcji  $g.$  

$4)$  Odczytujemy współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji  $f$  i  $g.$  

Odp.  $\{\begin{array}{l}x=1\frac{1}{3}\\ y=-\frac{1}{3}\end{array}$  

 

$\text{e)}\{\begin{array}{l}y+\left|x-2\right|=3\\ y=\left|x+2\right|-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\left|x-2\right|+3\\ y=\left|x+2\right|-1\end{array}$

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x+2\right|=\{\begin{array}{ll}x+2& \text{dla}x\ge -2\\ -x-2& \text{dla}x<-2\end{array}$   

$\left|x-2\right|=\{\begin{array}{ll}x-2& \text{dla}x\ge 2\\ -x+2& \text{dla}x<2\end{array}$   

Otrzymujemy trzy przypadki:

$1)x\ge 2$  

$\{\begin{array}{l}y=-\left(x-2\right)+3\\ y=x+2-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-x+5\\ y=x+1\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$\{\begin{array}{l}y=-x+5\\ 2y=6\text{/}:2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-x+5\\ y=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3=-x+5\\ y=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}$  

$2)x\le -2$  

$\{\begin{array}{l}y=-\left(-x+2\right)+3\\ y=-x-2-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=-x-3\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ 2y=-2\text{/}:2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1=x+1\\ y=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-1\end{array}$  

$3)x\in \left(-2,2\right)$  

$\{\begin{array}{l}y=-\left(-x+2\right)+3\\ y=x+2-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=x+1\end{array}$  

Układ równań jest nieoznaczony, więc spełniają go wszystkie liczby w postaci  $\left(x,x+1\right),$  gdzie  $x\in \left(-2,2\right).$  

Obliczamy wartość wyrażenia  $y=x+1$  dla  $x\in \left\{-2,2\right\}.$     

$y=-2+1=-1$  

$y=2+1=3$  

Są to rozwiązania, które uzyskaliśmy odpowiednio dla  $x\le 2$  i  $x\ge 2.$  

W takim razie wszystkie rozwiązania początkowego układu możemy wyrazić następująco:

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ x\in ⟨-2,2⟩\end{array}$   

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

$f\left(x\right)=-\left|x-2\right|+3,g\left(x\right)=\left|x+2\right|-1$  

$1)$  Szkicujemy wykres funkcji  $h\left(x\right)=-\left|x\right|.$  

$2)$  Przesuwamy wykres funkcji  $h$  o wektor  $\overrightarrow{u}=\left[2,3\right].$ Otrzymujemy wykres funkcji  $f.$  

$3)$  Szkicujemy wykres funkcji  $k\left(x\right)=\left|x\right|.$  

$4)$  Przesuwamy wykres funkcji  $k$  o wektor  $\overrightarrow{v}=\left[-2,-1\right].$ Otrzymujemy wykres funkcji  $g.$  

$5)$  Odczytujemy współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji  $f$  i  $g.$  

Odp.  $\{\begin{array}{l}y=x+1\\ x\in ⟨-2,2⟩\end{array}$   

 

$\text{f)}\{\begin{array}{l}\left|y-1\right|=2\\ x-y=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y-1=2\\ y=x-1\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y-1=-2\\ y=x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3\\ y=x-1\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=-1\\ y=x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3\\ 3=x-1\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=-1\\ -1=x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3\\ x=4\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=-1\\ x=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}$  

 

Rozważmy trzy funkcje:

$f\left(x\right)=x-1,g\left(x\right)=3,h\left(x\right)=-1.$   

$1)$  Szkicujemy wykresy powyższych funkcji. 

$2)$  Odczytujemy współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji  $f$  i  $g$   $f$   i  $h.$  

Odp.  $\{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}$