$\text{a)}\left|x-3\right|<x+3$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-3\right|=\{\begin{array}{ll}x-3& \text{dla}x\ge 3\\ -x+3& \text{dla}x<3\end{array}$   

Zatem:

dla  $x<3:$  

$-x+3<x+3$  

$-2x<0\text{/}:\left(-2\right)$  

$x>0$  

$x\in \left(0,3\right)$  

 

dla  $x\ge 3:$    

$x-3<x+3$  

$-3<3$  

$x\in ⟨3,+\infty )$  

 

Zbierając rozwiązania w obu przedziałach, otrzymujemy:  

$x\in \left(0,+\infty \right)$  

 

Rozwiązanie graficzne.

Rozważmy dwie funkcje:

$f\left(x\right)=\left|x-3\right|,g\left(x\right)=x+3$   

$1)$  Szkicujemy wykres funkcji  $h\left(x\right)=x-3.$  

$2)$  Odbijamy wykres funkcji  $h$  symetrycznie względem osi  $OX,$  otrzymamy wykres funkcji  $f.$  

$3)$  Szkicujemy wykres funkcji  $g.$  

$4)$  Odczytujemy z rysunku zbiór rozwiązań nierówności  $f\left(x\right)<g\left(x\right).$    

  

Odczytujemy rozwiązanie:

$x\in \left(0,+\infty \right)$  

 

$\text{b)}\frac{1}{2}\left|x\right|-3\ge x$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x\right|=\{\begin{array}{ll}x& \text{dla}x\ge 0\\ -x& \text{dla}x<0\end{array}$   

Zatem:

dla  $x<0:$   

$\frac{1}{2}\left(-x\right)-3\ge x$  

$-\frac{1}{2}x-x\ge 3$  

$-\frac{3}{2}x\ge 3\text{/}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)$  

$x\le -2$  

$x\in (-\infty ,-2⟩$  

 

dla  $x\ge 0:$  

$\frac{1}{2}x-3\ge x$  

$-\frac{1}{2}x\ge 3\text{/}\cdot \left(-2\right)$  

$x\le -6$  

$x\in \varnothing$  

 

Zbierając rozwiązania w obu przedziałach, otrzymujemy:  

$x\in (-\infty ,-2⟩$  

 

Rozwiązanie graficzne.

$\frac{1}{2}\left|x\right|-3\ge x$  

$\frac{1}{2}\left|x\right|\ge x+3\text{/}\cdot 2$  

$\left|x\right|\ge 2x+6$  

Rozważmy dwie funkcje:

$f\left(x\right)=\left|x\right|,g\left(x\right)=2x+6$   

$1)$  Szkicujemy wykres funkcji  $h\left(x\right)=x.$  

$2)$  Odbijamy wykres funkcji  $h$  symetrycznie względem osi  $OX,$