$\text{a)}\left|2\right|x-1\left|-3\right|\le 5$  

$2\left|x-1\right|-3\le 5\wedge 2\left|x-1\right|-3\ge -5$  

$2\left|x-1\right|\le 8\wedge 2\left|x-1\right|\ge -2\text{/}:2$  

$\left|x-1\right|\le 4\wedge \left|x-1\right|\ge -1-$  druga nierówność jest zawsze spełniona 

$x-1\le 4\wedge x-1\ge -4$   

$x\le 5\wedge x\ge -3$  

$x\in ⟨-3,5⟩$  

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

$f\left(x\right)=\left|2\right|x-1\left|-3\right|,g\left(x\right)=5$  

$1)$  Szkicujemy wykres funkcji  $g\left(x\right).$   

$2)$  Szkicujemy wykres funkcji  $h\left(x\right)=2\left|x\right|.$   

$3)$  Przesuwamy wykres funkcji  $h$  o wektor  $\overrightarrow{u}=\left[1,-3\right].$  Otrzymujemy wykres funkcji  $k\left(x\right)=2\left|x-1\right|-3.$     

$4)$  Odbijamy część wykresu funkcji  $k$   znajdującą się poniżej osi $OX$  symetrycznie względem osi  $OX.$  Otrzymujemy wykres funkcji  $f.$  

$5)$  Rozwiązaniem jest przedział, w którym  $f\left(x\right)\le g\left(x\right).$  

    

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in ⟨-3,5⟩$  

 

$\text{b)}\left|\left|x+3\right|-2\right|>2$   

$\left|x+3\right|-2>2\vee \left|x+3\right|-2<-2$  

$\left|x+3\right|>4\vee \left|x+3\right|<0-$  druga nierówność jest sprzeczna 

$x+3>4\vee x+3<-4$  

$x>1\vee x<-7$  

$x\in \left(-\infty ,-7\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

$f\left(x\right)=\left|\left|x+3\right|-2\right|,g\left(x\right)=2$  

$1)$  Szkicujemy wykres funkcji  $g\left(x\right).$   

$2)$  Szkicujemy wykres funkcji  $h\left(x\right)=\left|x\right|.$   

$3)$  Przesuwamy wykres funkcji  $h$  o wektor  $\overrightarrow{u}=\left[-3,-2\right].$  Otrzymujemy wykres funkcji  $k\left(x\right)=\left|x+3\right|-2.$