Matematyka

Matematyka 2 Pazdro. Zbiór zadań do liceów i techników. Poziom rozszerzony (Zbiór zadań, OE Pazdro)

Rozwiąż równania: 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`"a)"\ |x-1|+|x-2|=0,8x+3` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x-1|={(x-1,\ "dla"\ xge1),(-x+1,\ "dla"\ x < 1):}`  

`|x-2|={(x-2,\ "dla"\ xge2),(-x+2,\ "dla"\ x < 2):}`  

Zatem:

`|x-1|+|x-2|={(-x+1+(-x+2),\ "dla"\ x< 1),(x-1+(-x+2),\ "dla"\ 1lex< 2),(x-1+x-2,\ "dla"\ xge2):}`    

Czyli:

dla `x< 1:` 

`-x+1-x+2=4/5x+3`  

`-2x-4/5x=0` 

`-2 4/5x=0\ "/":(-2 4/5)` 

`x=0` 

 

dla `1lex< 2:` 

`x-1-x+2=4/5x+3`   

`1=4/5x+3` 

`4/5x=-2\ "/"*5/4` 

`x=-5/2` 

`x=-2 1/2 notin << 1,\ 2)`  

 

dla `xge2:`  

`x-1+x-2=4/5x+3` 

`2x-4/5x=6` 

`1 1/5x=6` 

`6/5x=6\ "/"*5/6` 

`x=5`  

 

Zbierając rozwiązania we wszystkich przedziałach, otrzymujemy:

`x in {0,\ 5}` 

 

`"b)"\ |x+1|+|3-x|=6-x` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x+1|={(x+1,\ "dla"\ xge-1),(-x-1,\ "dla"\ x < -1):}`  

`|3-x|=|x-3|={(x-3,\ "dla"\ xge3),(-x+3,\ "dla"\ x < 3):}`  

Zatem:

`|x+1|+|3-x|={(-x-1+(-x+3),\ "dla"\ x< -1),(x+1+(-x+3),\ "dla"\ -1lex< 3),(x+1+x-3,\ "dla"\ xge3):}`    

Czyli:

dla `x< -1:` 

`-x-1-x+3=6-x`  

`-2x+2=6-x` 

`-x=4\ "/"*(-1)` 

`x=-4` 

 

dla `-1lex< 3:` 

`x+1-x+3=6-x`   

`4=6-x` 

`x=2`  

 

dla `xge3:`  

`x+1+x-3=6-x` 

`2x-2=6-x` 

`3x=8\ "/":3` 

`x=8/3`  

`x=2 2/3 notin<< 3,+oo)` 

 

Zbierając rozwiązania we wszystkich przedziałach, otrzymujemy:

`x in {-4,\ 2}` 

 

`"c)"\ |x+2|-|2x-7|+x=1` 

`|x+2|-|2x-7|=1-x` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x+2|={(x+2,\ "dla"\ xge-2),(-x-2,\ "dla"\ x < -2):}`  

`|2x-7|={(2x-7,\ "dla"\ xge7/2),(-2x+7,\ "dla"\ x < 7/2):}`  

Zatem:

`|x+2|-|2x-7|={(-x-2-(-2x+7),\ "dla"\ x< -2),(x+2-(-2x+7),\ "dla"\ -2lex< 7/2),(x+2-(2x-7),\ "dla"\ xge7/2):}`    

Czyli:

dla `x< -2:` 

`-x-2+2x-7=1-x`  

`x-9=1-x` 

`2x=10\ "/":2` 

`x=5 notin(-oo,-2)` 

 

dla `-2lex< 7/2:` 

`x+2+2x-7=1-x`   

`3x-5=1-x` 

`4x=6\ "/":4` 

`x=3/2` 

 

dla `xge7/2:`  

`x+2-2x+7=1-x` 

`-x+9=1-x` 

`9=1-` sprzeczność

 

Zbierając rozwiązania we wszystkich przedziałach, otrzymujemy:

`x=3/2` 

 

`"d)"\ |x|-2|x-4|=8-x` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x|={(x,\ "dla"\ xge0),(-x,\ "dla"\ x < 0):}`  

`|x-4|={(x-4,\ "dla"\ xge4),(-x+4,\ "dla"\ x < 4):}`  

Zatem:

`|x|-2|x-4|={(-x-2(-x+4),\ "dla"\ x< 0),(x-2(-x+4),\ "dla"\ 0lex< 4),(x-2(x-4),\ "dla"\ xge4):}`    

Czyli:

dla `x< 0:` 

`-x+2x-8=8-x`  

`x-8=8-x` 

`2x=16\ "/":2` 

`x=8 notin(-oo,\ 0)` 

 

dla `0lex< 4:` 

`x+2x-8=8-x`   

`3x-8=8-x` 

`4x=16\ "/":4` 

`x=4 notin << 0,\ 4)` 

 

dla `xge4:`  

`x-2x+8=8-x` 

`-x+8=8-x` 

`0=0` 

równanie jest tożsamościowe, stąd: `x in << 4,+oo)` 

 

Zbierając rozwiązania we wszystkich przedziałach, otrzymujemy:

`x in << 4,+oo)` 

 

`"e)"\ |1-x|+|1+x|+2x=0` 

`|1-x|+|1+x|=-2x` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|1-x|=|x-1|={(x-1,\ "dla"\ xge1),(-x+1,\ "dla"\ x < 1):}`  

`|1+x|={(x+1,\ "dla"\ xge-1),(-x-1,\ "dla"\ x < -1):}`  

Zatem:

`|1-x|+|1+x|={(-x-1+(-x+1),\ "dla"\ x< -1),(x+1+(-x+1),\ "dla"\ -1lex< 1),(x+1+x-1,\ "dla"\ xge1):}`    

Czyli:

dla `x< -1:` 

`-x-1-x+1=-2x`  

`-2x=-2x` 

`0=0` 

równanie jest tożsamościowe, stąd: `x in (-oo,-1)` 

 

dla `-1lex< 1:` 

`x+1-x+1=-2x`   

`2=-2x\ "/":(-2)` 

`x=-1` 

 

dla `xge1:`  

`x+1+x-1=-2x` 

`2x=-2x` 

`4x=0\ "/":4` 

`x =0 notin<< 1,+oo)` 

 

Zbierając rozwiązania we wszystkich przedziałach, otrzymujemy:

`x in (-oo,-1>>` 

 

`"f)"\ 3|x|-|x+5|=x` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x|={(x,\ "dla"\ xge0),(-x,\ "dla"\ x < 0):}`  

`|x+5|={(x+5,\ "dla"\ xge-5),(-x-5,\ "dla"\ x < -5):}`  

Zatem:

`3|x|-|x+5|={(-3x-(-x-5),\ "dla"\ x< -5),(-3x-(x+5),\ "dla"\ -5lex< 0),(3x-(x+5),\ "dla"\ xge0):}`    

Czyli:

dla `x< -5:` 

`-3x+x+5=x`  

`-2x+5=x` 

`3x=5\ "/":3` 

`x=5/3 notin(-oo,-5)` 

 

dla `-5lex< 0:` 

`-3x-x-5=x`   

`-4x-5=x` 

`5x=-5\ "/":5` 

`x=-1` 

 

dla `xge0:`  

`3x-x-5=x` 

`2x-5=x` 

`x=5` 

 

Zbierając rozwiązania we wszystkich przedziałach, otrzymujemy:

`x in {-1,\ 5}` 

 

`"g)"\ |3x+6|-|2-x|=x+7` 

`|3||x+2|-|2-x|=x+7` 

`3|x+2|-|2-x|=x+7` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x+2|={(x+2,\ "dla"\ xge-2),(-x-2,\ "dla"\ x < -2):}`  

`|2-x|=|x-2|={(x-2,\ "dla"\ xge2),(-x+2,\ "dla"\ x < 2):}`  

Zatem:

`3|x+2|-|2-x|={(3(-x-2)-(-x+2),\ "dla"\ x< -2),(3(x+2)-(-x+2),\ "dla"\ -2lex< 2),(3(x+2)-(x-2),\ "dla"\ xge2):}`    

Czyli:

dla `x< -2:` 

`-3x-6+x-2=x+7`  

`-2x-8=x+7` 

`-3x=15\ "/":(-3)` 

`x=-5` 

 

dla `-2lex< 2:` 

`3x+6+x-2=x+7`   

`4x+4=x+7` 

`3x=3\ "/":3` 

`x=1` 

 

dla `xge2:`  

`3x+6-x+2=x+7` 

`2x+8=x+7` 

`x=-1 notin<<2,+oo)` 

 

Zbierając rozwiązania we wszystkich przedziałach, otrzymujemy:

`x in {-5,\ 1}` 

 

`"h)"\ x+1-2|1-x|=|3-x|` 

`|3-x|+2|1-x|=x+1` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|3-x|=|x-3|={(x-3,\ "dla"\ xge3),(-x+3,\ "dla"\ x < 3):}`  

`|1-x|=|x-1|={(x-1,\ "dla"\ xge1),(-x+1,\ "dla"\ x < 1):}`  

Zatem:

`|3-x|+2|1-x|={(-x+3+2(-x+1),\ "dla"\ x< 1),(-x+3+2(x-1),\ "dla"\ 1lex< 3),(x-3+2(x-1),\ "dla"\ xge3):}`    

Czyli:

dla `x< 1:` 

`-x+3-2x+2=x+1`  

`-3x+5=x+1` 

`4x=4\ "/":4` 

`x=1 notin(-oo,\ 1)` 

 

dla `1lex< 3:` 

`-x+3+2x-2=x+1`   

`x+1=x+1` 

`0=0` 

równanie jest tożsamościowe, stąd: `x in<< 1,\ 3)` 

 

dla `xge3:`  

`x-3+2x-2=x+1` 

`3x-5=x+1` 

`2x=6\ "/":2` 

`x=3` 

 

Zbierając rozwiązania we wszystkich przedziałach, otrzymujemy:

`x in<< 1,\ 3>>` 

 

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Równania

Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera literę, połączone znakiem równości tworzą równanie.

Litera występująca w równaniu to niewiadoma.

Wyrażenie występujące po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, a wyrażenie występujące po prawej stronie to prawa strona równania.

lewa i prawa strona równania

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, przy czym w równaniu tym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:

  • $$7x − 11 = 17$$
  • $$8y = 16$$
  • $$3x + 7 = 10 + 2x$$

Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą – to liczba, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia to równanie (czyli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej, lewa strona równania będzie się równać prawej stronie).

Przykład 1.

Sprawdźmy czy liczba 2 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.
Podstawiamy liczbę 2 w miejsce niewiadomej x.

  • I sposób
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•2+ 7 = 6 + 7 = 13$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•2= 10 + 4 = 14$$
    $$13≠14$$, czyli $$L≠P$$

    czyli liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

  • II sposób
    Podstawiamy 2 w miejsce x i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwą:

    $$3•2+7=10 + 2•2$$
    $$6 + 7 = 10 + 4$$
    $$13 = 14$$ ← otrzymaliśmy równość fałszywą

    zatem liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2.

Sprawdźmy czy liczba 3 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.

  • Podstawiamy liczbę 3 w miejsce niewiadomej x.
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•3+ 7 = 9 + 7 = 16$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•3= 10 + 6 = 16$$
    $$L = P$$

    Zatem liczba 3 spełnia dane równanie, zatem jest jego rozwiązaniem.
Funkcja ciągła
Funkcja ciągła to intuicyjnie taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma żadnych nagłych "przeskoków". Jednak ta definicja, poza tym, że jest mało precyzyjna, zawiera błąd. Na przykład funkcję $$f(x) = frac{1}{x}$$ nazywamy funkcją ciągłą, mimo, że przecież nie da się narysować jej wykresu od $$-1$$ do $$1$$ bez odrywania ołówka. Dzieje się tak, ponieważ funkcja może być ciągła tylko w swojej dziedzinie - poza dziedziną przecież "nie istnieje", więcn nie można nic o niej powiedzieć.

Precyzyjną definicją ciągłości jest to, czy dla każdego $$x f(x)$$ jest równe granicy w tym punkcie. Intuicyjnie wydaje się to poprawne: jeśli coraz bardziej zbliżamy się do punktu $$x_0$$ i jesteśmy coraz bliżej jego wartości, to jeśli w końcu dotrzemy w $$x_0$$, to powinniśmy tam znaleźć wartość właśnie $$f(x_0)$$.

Funkcje ciągłe mają tę ciekawą właściwość, że na przedziale przyjmują wszystkie wartości pośrednie. To znaczy, że jeśli na przykład w punkcie $$x = 0 f(x) = 2$$, a w punkcie $$x = 1 f(x) = -2$$, to wiemy, że w tym przedziale na pewno znajdzie się taki punkt $$a$$, że $$f(a) = 0$$. (Oczywiście funkcja musi być określona na całym tym przedziale)

Ważne jest to, że wykonując operacje arytmetyczne oraz składając funkcje ciągłe otrzymujemy zawsze funkcje ciągłe - dlatego wszystkie "normalne", tzn określone "prostym" wzorem (jak na przykład wielomiany lub funkcje trygonometryczne) będą ciągłe.
Udostępnij zadanie