$\text{a)}\sqrt{x^2+6x+9}>5-\left|x\right|$  

$\sqrt{{\left(x+3\right)}^2}>5-\left|x\right|$  

$\left|x+3\right|>5-\left|x\right|$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x\right|=\{\begin{array}{ll}x& \text{dla}x\ge 0\\ -x& \text{dla}x<0\end{array}$   

$\left|x+3\right|=\{\begin{array}{ll}x+3& \text{dla}x\ge -3\\ -x-3& \text{dla}x<-3\end{array}$   

Zatem:

dla  $x<-3:$  

$-x-3>5-\left(-x\right)$  

$-x-3>5+x$  

$-2x>8\text{/}:\left(-2\right)$  

$x<-4$   

$x\in \left(-\infty ,-4\right)$  

dla  $x\in ⟨-3,0):$  

$x+3>5-\left(-x\right)$  

$x+3>5+x$  

$3>5-$  sprzeczność 

W rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.

 

dla  $x\ge 0:$   

$x+3>5-x$  

$2x>2\text{/}:2$  

$x>1$  

$x\in \left(1,+\infty \right)$  

 

Stąd: 

$x\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(1,+\infty \right)$   

---

$\text{b)}\sqrt{x^2+4x+4}+\sqrt{x^2-8x+16}\le 6$  

$\sqrt{{\left(x+2\right)}^2}+\sqrt{{\left(x-4\right)}^2}\le 6$  

$\left|x+2\right|+\left|x-4\right|\le 6$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-4\right|=\{\begin{array}{ll}x-4& \text{dla}x\ge 4\\ -x+4& \text{dla}x<4\end{array}$   

$\left|x+2\right|=\{\begin{array}{ll}x+2& \text{dla}x\ge -2\\ -x-2& \text{dla}x<-2\end{array}$   

Zatem:

dla  $x<-2:$  

$-x-2-x+4\le 6$  

$-2x\le 4\text{/}:\left(-2\right)$  

$x\ge -2$  

W rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.

 

dla  $x\in ⟨-2,4)$  

$x+2-x+4\le 6$  

$6\le 6$  

$x\in ⟨-2,4)$  

 

dla  $x\ge 4:$  

$x+2+x-4\le 6$  

$2x\le 8\text{/}:2$  

$x\le 4$  

$x=4$  

 

Stąd:

$x\in ⟨-2,4⟩$  

---

$\text{c)}\left|2x-3\right|>16+\left|x+1\right|$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|2x-3\right|=\{\begin{array}{ll}2x-3& \text{dla}x\ge \frac{3}{2}\\ -2x+3& \text{dla}x<\frac{3}{2}\end{array}$   

$\left|x+1\right|=\{\begin{array}{ll}x+1& \text{dla}x\ge -1\\ -x-1& \text{dla}x<-1\end{array}$   

Zatem:

dla  $x<-1$  

$-2x+3>16-x-1$  

$-x>12\text{/}\cdot \left(-1\right)$  

$x<-12$  

$x\in \left(-\infty ,-12\right)$  

 

dla  $x\in ⟨-1,\frac{3}{2}):$  

$-2x+3>16+x+1$  

$-3x>14\text{/}:\left(-3\right)$  

$x<-\frac{14}{3}$  

$x<-4\frac{2}{3}$  

W rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.

 

dla  $x\ge \frac{3}{2}$  

$2x-3>16+x+1$  

$x>20$  

$x\in \left(20,+\infty \right)$  

 

Stąd:

$x\in \left(-\infty ,-12\right)\cup \left(20,+\infty \right)$  

---

$\text{d)}\left|x+3\right|+\left|x-3\right|>-4$  

Po lewej stronie mamy sumę wartości bezwzględnych dwóch liczb, więc jest to na pewno liczba nieujemna.

Po prawej stronie mamy liczbę ujemną.

Oznacza to, że powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdego  $x\in \mathbf{R}.$  

---

$\text{e)}\left|x-1\right|+\sqrt{4x^2-20x+25}\le 9$   

$\left|x-1\right|+\sqrt{{\left(2x-5\right)}^2}\le 9$  

$\left|x-1\right|+\left|2x-5\right|\le 9$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|2x-5\right|=\{\begin{array}{ll}2x-5& \text{dla}x\ge \frac{5}{2}\\ -2x+5& \text{dla}x<\frac{5}{2}\end{array}$   

$\left|x-1\right|=\{\begin{array}{ll}x-1& \text{dla}x\ge 1\\ -x+1& \text{dla}x<1\end{array}$   

Zatem:

dla  $x<1:$  

$-x+1-2x+5\le 9$  

$-3x\le 3\text{/}:\left(-3\right)$  

$x\ge -1$  

$x\in ⟨-1,1)$  

 

dla  $x\in ⟨1,\frac{5}{2}):$    

$x-1-2x+5\le 9$  

$-x\le 5\text{/}\cdot \left(-1\right)$  

$x\ge -5$  

$x\in ⟨1,\frac{5}{2})$  

 

dla  $x\ge \frac{5}{2}:$    

$x-1+2x-5\le 9$  

$3x\le 15\text{/}:3$  

$x\le 5$  

$x\in ⟨\frac{5}{2},5⟩$  

 

Stąd:

$x\in ⟨-1,5⟩$    

---

$\text{f)}2\left|x-2\right|-\left|x\right|>1$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x\right|=\{\begin{array}{ll}x& \text{dla}x\ge 0\\ -x& \text{dla}x<0\end{array}$   

$\left|x-2\right|=\{\begin{array}{ll}x-2& \text{dla}x\ge 2\\ -x+2& \text{dla}x<2\end{array}$   

Zatem:

dla  $x<0:$  

$2\left(-x+2\right)-\left(-x\right)>1$  

$-2x+4+x>1$  

$-x>-3\text{/}\cdot \left(-1\right)$  

$x<3$  

$x\in \left(-\infty ,0\right)$  

 

dla  $x\in ⟨0,2):$  

$2\left(-x+2\right)-x>1$  

$-2x+4-x>1$  

$-3x>-3\text{/}:\left(-3\right)$  

$x<1$  

$x\in ⟨0,1)$  

 

dla  $x\ge 2:$  

$2\left(x-2\right)-x>1$  

$2x-4-x>1$  

$x>5$  

$x\in \left(5,+\infty \right)$  

 

Stąd:

$x\in \left(-\infty ,1\right)\cup \left(5,+\infty \right)$