Matematyka

Matematyka 2 Pazdro. Zbiór zadań do liceów i techników. Poziom rozszerzony (Zbiór zadań, OE Pazdro)

Dane jest równanie z niewiadomą x... 5.0 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`"a)"\ f(x)=(1-x^2)/|x+1|=((1-x)(1+x))/|x+1|`  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji `f:` 

`|x+1|!=0`  

`x+1!=0` 

`x!=-1` 

`D_f=bbR-{-1}`  

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x+1|={(x+1,\ "dla"\ x> -1),(-x-1,\ "dla"\ x < -1):}`

Stąd:

`f(x)={([(1-x)(1+x)]/(x+1),\ "dla"\ x> -1),(((1-x)(1+x))/(-(x+1)),\ "dla"\ x < -1):}`      

`f(x)={(1-x,\ "dla"\ x> -1),(-(1-x),\ "dla"\ x < -1):}` 

`f(x)={(-x+1,\ "dla"\ x> -1),(x-1,\ "dla"\ x < -1):}` 

Szkicujemy wykres funkcji `f:` 

 

Wyznaczmy ilość rozwiązań równania `f(x)=k` w zależności od parametru `k in bbR.` 

`1)` Równanie `f(x)=k` nie ma rozwiązań dla `k in << 2,+oo).` 

`2)` Równanie `f(x)=k` ma dokładnie jedno rozwiązanie dla `k in << -2,\ 2).` 

`3)` Równanie `f(x)=k` ma dwa rozwiązania dla `k in (-oo, -2).` 

Przyjmijmy teraz `k=m-3.` 

Stąd: `m=k+3.`           

W takim razie, aby wyznaczyć liczbę rozwiązań równania `f(x)=m-3` w zależności od parametru `m in bbR,` 

wystarczy przesunąć przedziały wyznaczone dla `k` o `3` jednostki w prawo. Mamy więc:    

`1)` Równanie `f(x)=m-3` nie ma rozwiązań dla `m in << 5,+oo).` 

`2)` Równanie `f(x)=m-3` ma dokładnie jedno rozwiązanie dla `m in << -1,\ 5).` 

`3)` Równanie `f(x)=m-3` ma dwa rozwiązania dla `m in (-oo, -1).`

 

`"b)"` Dla `m=0` mamy:

`(1-x^2)/|x+1|=-3\ "/"*|x+1|!=0` 

`1-x^2=-3|x+1|`     

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x+1|={(x+1,\ "dla"\ x> -1),(-x-1,\ "dla"\ x < -1):}`

Zatem: 

dla `x in (-oo,-1):` 

`1-x^2=-3(-x-1)` 

`(1-x)(1+x)=3(1+x)\ "/":(1+x)` 

`1-x=3` 

`-x=2\ "/"*(-1)` 

`x=-2 in (-oo,-1)` 

 

dla `x in (-1,+oo):` 

`1-x^2=-3(x+1)` 

`(1-x)(1+x)=-3(1+x)\ "/":(1+x)` 

`1-x=-3` 

`-x=-4\ "/"*(-1)` 

`x=4 in (-1,+oo)` 

Stąd:

`x in {-2,\ 4}` dla `m=0.`    

 

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Równania

Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera literę, połączone znakiem równości tworzą równanie.

Litera występująca w równaniu to niewiadoma.

Wyrażenie występujące po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, a wyrażenie występujące po prawej stronie to prawa strona równania.

lewa i prawa strona równania

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, przy czym w równaniu tym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:

  • $$7x − 11 = 17$$
  • $$8y = 16$$
  • $$3x + 7 = 10 + 2x$$

Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą – to liczba, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia to równanie (czyli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej, lewa strona równania będzie się równać prawej stronie).

Przykład 1.

Sprawdźmy czy liczba 2 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.
Podstawiamy liczbę 2 w miejsce niewiadomej x.

  • I sposób
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•2+ 7 = 6 + 7 = 13$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•2= 10 + 4 = 14$$
    $$13≠14$$, czyli $$L≠P$$

    czyli liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

  • II sposób
    Podstawiamy 2 w miejsce x i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwą:

    $$3•2+7=10 + 2•2$$
    $$6 + 7 = 10 + 4$$
    $$13 = 14$$ ← otrzymaliśmy równość fałszywą

    zatem liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2.

Sprawdźmy czy liczba 3 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.

  • Podstawiamy liczbę 3 w miejsce niewiadomej x.
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•3+ 7 = 9 + 7 = 16$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•3= 10 + 6 = 16$$
    $$L = P$$

    Zatem liczba 3 spełnia dane równanie, zatem jest jego rozwiązaniem.
Funkcja ciągła
Funkcja ciągła to intuicyjnie taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma żadnych nagłych "przeskoków". Jednak ta definicja, poza tym, że jest mało precyzyjna, zawiera błąd. Na przykład funkcję $$f(x) = frac{1}{x}$$ nazywamy funkcją ciągłą, mimo, że przecież nie da się narysować jej wykresu od $$-1$$ do $$1$$ bez odrywania ołówka. Dzieje się tak, ponieważ funkcja może być ciągła tylko w swojej dziedzinie - poza dziedziną przecież "nie istnieje", więcn nie można nic o niej powiedzieć.

Precyzyjną definicją ciągłości jest to, czy dla każdego $$x f(x)$$ jest równe granicy w tym punkcie. Intuicyjnie wydaje się to poprawne: jeśli coraz bardziej zbliżamy się do punktu $$x_0$$ i jesteśmy coraz bliżej jego wartości, to jeśli w końcu dotrzemy w $$x_0$$, to powinniśmy tam znaleźć wartość właśnie $$f(x_0)$$.

Funkcje ciągłe mają tę ciekawą właściwość, że na przedziale przyjmują wszystkie wartości pośrednie. To znaczy, że jeśli na przykład w punkcie $$x = 0 f(x) = 2$$, a w punkcie $$x = 1 f(x) = -2$$, to wiemy, że w tym przedziale na pewno znajdzie się taki punkt $$a$$, że $$f(a) = 0$$. (Oczywiście funkcja musi być określona na całym tym przedziale)

Ważne jest to, że wykonując operacje arytmetyczne oraz składając funkcje ciągłe otrzymujemy zawsze funkcje ciągłe - dlatego wszystkie "normalne", tzn określone "prostym" wzorem (jak na przykład wielomiany lub funkcje trygonometryczne) będą ciągłe.
Udostępnij zadanie