II liceum

II technikum

III technikum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Oznaczmy te liczby przez x , y , z &nbsp; ich suma wynosi 9: x+y+z=9 &nbsp; w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, zatem z własności ciągu arytmetycznego:

Dany jest ciąg arytmetyczny an: 8 , x , y &nbsp; oraz ciąg geometryczny:

Z własności ciągu arytmetycznego:

Jeżeli w podanej kolejności mają tworzyć ciąg arytmetyczny to:

Dodatnie liczby&nbsp;a, b, c (a&nbsp;≠ b ≠ c)&nbsp;podanej kolejności liczby tworzą ciąg arytmetyczny, zatem:

Niech liczby&nbsp;x, y, z w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Z własności tego ciągu: 2y=x+z &nbsp; Ich suma wynosi 39:

Oznaczmy te liczby jako: x , y , z &nbsp; w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, zatem: x&lt;y&lt;z &nbsp;

Z własności ciągu arytmetycznego wiemy, że: 2a2​=a1​+a3​ &nbsp; &nbsp; Skoro: a1​+a2​+a3​=6 &nbsp; to 3a2​=6 &nbsp; a2​=2 &nbsp;

Oznaczmy te liczby przez <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4a6cf4531310a2fb54522df82149fe83dbac4baecf13b4b0eadcdfb6db1a414f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4a6cf4531310a2fb54522df82149fe83dbac4baecf13b4b0eadcdfb6db1a414f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; ich suma wynosi 9: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/af3ca158f3642103d87a71ceed56d51aafc2f1087bfe49ad874e5748c352714d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/af3ca158f3642103d87a71ceed56d51aafc2f1087bfe49ad874e5748c352714d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, zatem z własności ciągu arytmetycznego:

Dany jest ciąg arytmetyczny an: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/18127dbe09d4637bbb4e041a4ae59f035b3d641b4549c75bd682ef0e700d1d31_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/18127dbe09d4637bbb4e041a4ae59f035b3d641b4549c75bd682ef0e700d1d31_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; oraz ciąg geometryczny:

Suma tych trzech liczb jest równa 24: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/31d00e4b04b7461ca388555168aa4788d2fad8d8db14a3ded0feb2a605040259_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/31d00e4b04b7461ca388555168aa4788d2fad8d8db14a3ded0feb2a605040259_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; W podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, z własności ciągu: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bda2506dcab8b1f5f57bf4789f49113bb066b0634998befbad17a0823dc70160_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bda2506dcab8b1f5f57bf4789f49113bb066b0634998befbad17a0823dc70160_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; Ciąg&nbsp;(x+1, y-2, z-2)&nbsp;jest ciągiem geometrycznym, z własności ciągu: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1f7aed3376f50f9b79f3b529c04e40770e233f7a8b7212b45b425c1091d6481a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1f7aed3376f50f9b79f3b529c04e40770e233f7a8b7212b45b425c1091d6481a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Rozwiążmy układ równań: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/295e0f2174f53f52a6e8f83fde7b40549f71e494a005493776336e1c850f7320_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/295e0f2174f53f52a6e8f83fde7b40549f71e494a005493776336e1c850f7320_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/64f820fb497e0dc7fb727e9fcf614366cfe2552741c492feb7c9d60fc33946ee_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/64f820fb497e0dc7fb727e9fcf614366cfe2552741c492feb7c9d60fc33946ee_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1e6cd7fcaa8f248bc315bfeb4f9b75f77a22b45168f34dcc7ef29cd454a397c9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1e6cd7fcaa8f248bc315bfeb4f9b75f77a22b45168f34dcc7ef29cd454a397c9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5605a9be88e0312770c1c7a6cef416617bad50d03968c064b7d945b19ccd3f21_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5605a9be88e0312770c1c7a6cef416617bad50d03968c064b7d945b19ccd3f21_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/19525b7fb1ff4e57d1ef0e691d462c2785d078056822b033ef0d98aed629b166_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/19525b7fb1ff4e57d1ef0e691d462c2785d078056822b033ef0d98aed629b166_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/aea39f35379cd33cb55e3f1a266b67a2b084612b4b4a506cebc59ff47c24ca30_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/aea39f35379cd33cb55e3f1a266b67a2b084612b4b4a506cebc59ff47c24ca30_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/23bf7a2470007e8ee0faa935c9c3ab9c1febad2b71167bff6aab73cfc92471b9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/23bf7a2470007e8ee0faa935c9c3ab9c1febad2b71167bff6aab73cfc92471b9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c54b69380a0884b4cf8755e62a877bc84b6ce0f75f52c2b8ff0bff0c3f854507_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c54b69380a0884b4cf8755e62a877bc84b6ce0f75f52c2b8ff0bff0c3f854507_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6a53ed6ae1231eb6719b94fd2c5d20be309a3160e49a3f1aa7ee506bd41f155d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6a53ed6ae1231eb6719b94fd2c5d20be309a3160e49a3f1aa7ee506bd41f155d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ef3b4056c2a001a3e094ba1a2ce7bfed315ca49564f674c0f824682eabd989f4_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ef3b4056c2a001a3e094ba1a2ce7bfed315ca49564f674c0f824682eabd989f4_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/158e9155c454d7d6604a54d7d5340877f1e7e4385f4ccab47c554caf35c4bdd3_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/158e9155c454d7d6604a54d7d5340877f1e7e4385f4ccab47c554caf35c4bdd3_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7bd7e8b29a0884dd27806267b5c695a44d09097f702900d3d6e3a887b0b5dc2f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7bd7e8b29a0884dd27806267b5c695a44d09097f702900d3d6e3a887b0b5dc2f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Niech liczby&nbsp;x, y, z w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Z własności tego ciągu: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/faeb9322bdbcb302eccb58d79693e00112d64aaa819950631fe960a29abe495b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/faeb9322bdbcb302eccb58d79693e00112d64aaa819950631fe960a29abe495b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Ich suma wynosi 39:

Oznaczmy te liczby jako: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4a6cf4531310a2fb54522df82149fe83dbac4baecf13b4b0eadcdfb6db1a414f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4a6cf4531310a2fb54522df82149fe83dbac4baecf13b4b0eadcdfb6db1a414f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9d29642e6926a4b1ff138bd20a98b661421a0d3a9eabccb781d0bdaf2958c944_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9d29642e6926a4b1ff138bd20a98b661421a0d3a9eabccb781d0bdaf2958c944_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Założenia: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5ce699fd287551b2e3baea537d8b5ded55bcaa1f0e8ffcb576f03854a5a00b9a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5ce699fd287551b2e3baea537d8b5ded55bcaa1f0e8ffcb576f03854a5a00b9a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Z własności ciągu arytmetycznego wiemy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3a63ea7a2c4a4d759dcd89b1d0e5f6a20362e914ec2f6ede93995c2511fd63eb_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3a63ea7a2c4a4d759dcd89b1d0e5f6a20362e914ec2f6ede93995c2511fd63eb_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Z własności ciągu geometrycznego wiemy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/066778bd36ab4402cfcd6bfa1999ebaccfd39423b7aeaff79ef1274161489903_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/066778bd36ab4402cfcd6bfa1999ebaccfd39423b7aeaff79ef1274161489903_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; zatem <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/34de0d21cb4d06f4e9313280ab4d5919148ebd479b454f760d1208943426c3c9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/34de0d21cb4d06f4e9313280ab4d5919148ebd479b454f760d1208943426c3c9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d61a6eb1ecd013818a64c4af8bb3629eaf32cac0728cc44e2b28c6132b71d8e8_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d61a6eb1ecd013818a64c4af8bb3629eaf32cac0728cc44e2b28c6132b71d8e8_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f9e31cc33e6515fc0041e2392033a21ef9161724ece82beb10ddaedd93f4e600_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f9e31cc33e6515fc0041e2392033a21ef9161724ece82beb10ddaedd93f4e600_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/30de1bb6e89411f0051afeac2728ea07e18ac24e2e606c572caa9e09587dcb02_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/30de1bb6e89411f0051afeac2728ea07e18ac24e2e606c572caa9e09587dcb02_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/485ce22095edd02f87ff27e6d4f3a6a6de346672eebcb6d27c7d33bb53e551e7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/485ce22095edd02f87ff27e6d4f3a6a6de346672eebcb6d27c7d33bb53e551e7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; b jest różne od 0, zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/eea8c04a2614ece6b3bc1a9fd72ab22402d16b12011a1abc666790c8cbeddd3e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/eea8c04a2614ece6b3bc1a9fd72ab22402d16b12011a1abc666790c8cbeddd3e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5b1ffcc19904c62a3eebb07f2130b65b2fac10478e1a8ae087d3602ede8b4285_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5b1ffcc19904c62a3eebb07f2130b65b2fac10478e1a8ae087d3602ede8b4285_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/faf865f847c09a46ed09acc6153fc19c72c94533386a12fccac8449d8701df82_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/faf865f847c09a46ed09acc6153fc19c72c94533386a12fccac8449d8701df82_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Wyznaczmy iloraz podanego ciągu geometrycznego: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3774f8437064a03851999d8fe65a1dd81aa981ae8a42ddcc65cab227a80b6911_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3774f8437064a03851999d8fe65a1dd81aa981ae8a42ddcc65cab227a80b6911_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Z własności ciągu arytmetycznego wiemy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ad7794b0cf1a095c0be3edab430d35f5fec020b9d3418dab55f54b5c24a2cbe9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ad7794b0cf1a095c0be3edab430d35f5fec020b9d3418dab55f54b5c24a2cbe9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Skoro: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7b18d22acfd3493fc8e38838e7c688309f609662df52d1c70e649637b030f5ae_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7b18d22acfd3493fc8e38838e7c688309f609662df52d1c70e649637b030f5ae_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; to <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8de852b79ac7dc67c273bac7f3c455e2617f801f47df5f836da38d996a43ac9b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8de852b79ac7dc67c273bac7f3c455e2617f801f47df5f836da38d996a43ac9b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/eee7582ede0e6b7fe7241bab0446f57bde4ce727512c9223d2456076e4e11980_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/eee7582ede0e6b7fe7241bab0446f57bde4ce727512c9223d2456076e4e11980_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Komentarze