Suma tych trzech liczb jest równa 24:

$x+y+z=24$  

W podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, z własności ciągu:

$2y=x+z$   

Ciąg (x+1, y-2, z-2) jest ciągiem geometrycznym, z własności ciągu:

${\left(y-2\right)}^2=\left(x+1\right)\left(z-2\right)$  

Rozwiążmy układ równań:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=24\\ 2y=x+z\\ {\left(y-2\right)}^2=\left(x+1\right)\left(z-2\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3y=24\\ 2y=x+z\\ {\left(y-2\right)}^2=\left(x+1\right)\left(z-2\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=8\\ x+z=16\\ \left(x+1\right)\left(z-2\right)=36\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=8\\ z=16-x\\ \left(x+1\right)\left(16-x-2\right)=36\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=8\\ z=16-x\\ \left(x+1\right)\left(14-x\right)=36\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=8\\ z=16-x\\ 14x-x^2+14-x=36\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=8\\ z=16-x\\ -x^2+13x+14=36\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=8\\ z=16-x\\ -x^2+13x-22=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=8\\ z=16-x\\ -x^2+2x+11x-22=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=8\\ z=16-x\\ -x\left(x-2\right)+11\left(x-2\right)=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=8\\ z=16-x\\ \left(x-2\right)\left(-x+11\right)=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_1=2\\ y=8\\ z_1=14\end{array}\vee \{\begin{array}{l}{x}_2=11\\ y=8\\ z_2=5\end{array}$