Oznaczmy te liczby przez

$x,y,z$  

ich suma wynosi 9:

$x+y+z=9$  

w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, zatem z własności ciągu arytmetycznego:

$2y=x+z$   

Jeśli do pierwszej dodamy 3 ¹/₈, a dwóch pozostałych nie zmienimy, to otrzymamy ciąg geometryczny. Skorzystajmy z własności tego ciągu:

$y^2=\left(x+3\frac{1}{8}\right)\cdot z$  

 

Rozwiążmy układ równań:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=9\\ 2y=x+z\\ y^2=\left(x+\frac{25}{8}\right)\cdot z\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3y=9\\ 2y=x+z\\ y^2=\left(x+\frac{25}{8}\right)\cdot z\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=3\\ x+z=6\\ 9=\left(x+\frac{25}{8}\right)\cdot z\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3\\ z=6-x\\ 9=\left(x+\frac{25}{8}\right)\cdot \left(6-x\right)\end{array}$  

Rozwiążemy trzecie równanie:

$9=\left(x+\frac{25}{8}\right)\cdot \left(6-x\right)$  

$9=6x-x^2+\frac{75}{4}-\frac{25}{8}x\mid \cdot 8$  

$72=48x-8x^2+150-25x$  

$8x^2-23x-78=0$  

$\Delta ={\left(-23\right)}^2-4\cdot 8\cdot \left(-78\right)=529+2496=3025$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{3025}=55$  

$x_1=\frac{23-55}{16}\vee x_2=\frac{23+55}{16}$

$x_1=-\frac{32}{16}\vee x_2=\frac{78}{16}$  

$x_1=-2\vee x_2=\frac{39}{8}$  

$x_1=-2\vee x_2=4\frac{7}{8}$  

stąd

$\{\begin{array}{l}{x}_1=-2\\ y=3\\ z_1=8\end{array}\vee \{\begin{array}{l}{x}_2=4\frac{7}{8}\\ y=3\\ z_2=1\frac{1}{8}\end{array}$