III gimnazjum

Matematyka na czasie! 3

Matematyka

Liczy się matematyka 3

Matematyka 2001

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 1

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 2

Matematyka 3. Ćwiczenia podstawowe

Matematyka 3. Zeszyt zadań

Matematyka wokół nas 3

Matematyka wokół nas 3. Zeszyt ćwiczeń cz. 1

Matematyka wokół nas 3. Zeszyt ćwiczeń cz. 2

Matematyka z plusem 3

Matematyka z plusem 3. Zbiór zadań 2001

Policzmy to razem 3

Objętość stożka wynosi <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/2058d340-6291-4587-b8af-8b243a1f6575_small.svg" type="image/svg+xml"></object> . Zatem: 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/01177621-e239-4aa9-b51e-83aac4e4f2d9_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/01177621-e239-4aa9-b51e-83aac4e4f2d9_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/90856dc2-52f2-4d95-83cf-f9609f2a6edc_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/90856dc2-52f2-4d95-83cf-f9609f2a6edc_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym, którego ramiona (tworzące stożka) mają długość 36 cm. 
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka znajdującego się między ramionami dzieli ten trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne (dzieli podstawę na dwie równe części).  
Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku: 
<img class="img-responsive img-thumbnail dropzone-img" src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/96033/zad._2013_2C_20str._2061.jpg" width="476" height="238">
Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/3d1010cc-3085-447d-b07c-8895ff4cb19b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> mamy: 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/abb112df-3ffc-4df9-af10-41995c2a6f43_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/abb112df-3ffc-4df9-af10-41995c2a6f43_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka znajdującego się między ramionami dzieli ten trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne (dzieli podstawę na dwie równe części, dzięki kąt między ramionami na dwie równe części). 
 a) Kąt rozwarcia stożka ma miarę 60o. 
Promień podstawy stożka ma długość 30 cm. 
<img class="img-responsive img-thumbnail dropzone-img" src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/96034/zad._2014a_2C_20str._2061.jpg" width="346" height="218">
Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/3d1010cc-3085-447d-b07c-8895ff4cb19b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> mamy: 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/6dca1545-2e26-4c1d-b7a5-055893c832b7_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/6dca1545-2e26-4c1d-b7a5-055893c832b7_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/63ef3937-7d86-46b4-9270-3031e3e923f6_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/63ef3937-7d86-46b4-9270-3031e3e923f6_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Obliczamy, ile wynosi objętość tego stożka. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/33135a2b-efaa-4b3b-bae0-a912e4f58038_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/d8b2a9a5-dc42-4ced-ab3c-e68217974443_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/d8b2a9a5-dc42-4ced-ab3c-e68217974443_small.svg" type="image/svg+xml"></object>      Objętość stożka wynosi <object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/37b86e11-a702-48cc-98d5-b02037f70856_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/37b86e11-a702-48cc-98d5-b02037f70856_small.svg" type="image/svg+xml"></object>.  
 b) Kąt rozwarcia stożka ma miarę 90o. 
Promień podstawy stożka ma długość 30 cm. 
 <img src="https://odrabiamy.pl/uploads/exercise_photo/image/96035/zad._14b__str._61.jpg" width="406" height="216">
Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/8f1fcd55-f58a-440c-b2a6-f50ebb238a95_small.svg" type="image/svg+xml"></object> mamy: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/1f00ce64-c3d6-419a-ba63-0317697b626b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/d07e2a7e-7f03-4071-afa2-3724aada24ba_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/d07e2a7e-7f03-4071-afa2-3724aada24ba_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Obliczamy, ile wynosi objętość tego stożka. 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/6671f45e-dff2-4fc6-b100-c0bda1d30492_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/6671f45e-dff2-4fc6-b100-c0bda1d30492_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Objętość stożka wynosi <object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/494c0539-fdf0-4d64-890b-fcb5c03c83dc_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/494c0539-fdf0-4d64-890b-fcb5c03c83dc_small.svg" type="image/svg+xml"></object> . 
 
c) Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120o.      
Promień podstawy ma długość 30 cm. 
 <img src="https://odrabiamy.pl/uploads/exercise_photo/image/96036/zad._14c__str._61.jpg" width="533" height="191">
Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/3d1010cc-3085-447d-b07c-8895ff4cb19b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> mamy: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/51b1c81b-ecea-4dc8-8ddc-ff94bfc317d2_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/d437ada8-33d2-4d18-887a-b1a251b6723e_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/d437ada8-33d2-4d18-887a-b1a251b6723e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/65a98500-3b47-40a4-ad98-b807e563b128_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/65a98500-3b47-40a4-ad98-b807e563b128_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/49dafef2-445c-4fee-ba98-87284a982bd4_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/00b37a65-e963-49c1-902c-122f6a3d25bd_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/00b37a65-e963-49c1-902c-122f6a3d25bd_small.svg" type="image/svg+xml"></object>       
Obliczamy, ile wynosi objętość tego stożka. 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/332232aa-7dbf-4d14-99a4-f841827aaa9c_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/332232aa-7dbf-4d14-99a4-f841827aaa9c_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  Objętość tego stożka wynosi <object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/69267fc4-70a4-4f79-b20e-dd14322c76cd_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/69267fc4-70a4-4f79-b20e-dd14322c76cd_small.svg" type="image/svg+xml"></object> .

Stożek I: 
Wysokość stożka ma długość 6 cm. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/d33523ed-e2ab-4d3c-ba30-9bff694e3da4_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Objętość tego stożka wynosi <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/3946418b-23cd-45e6-b582-0df39f3a6962_small.svg" type="image/svg+xml"></object>. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/9b8788da-03d5-4fb4-80de-c9802cfadeaf_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
Obliczamy, ile wynosi długość promienia podstawy tego stożka.
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/1d18eeba-b594-45c6-b609-df35dad28c1d_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/1d18eeba-b594-45c6-b609-df35dad28c1d_small.svg" type="image/svg+xml"></object>       <object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/9df397fc-28e8-4ad8-806a-dbbaffd70213_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/9df397fc-28e8-4ad8-806a-dbbaffd70213_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/c8cbbfbd-1983-4088-a212-6e088421f5aa_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/c77b998a-dbc3-42de-9957-56084fc6ae78_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Długość promienia podstawy stożka wynosi 10 cm. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/fdc62432-7148-4bb7-bf97-71ea17e2ad20_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Wysokość tego stożka ma długość 15 cm. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/d1a4c6f0-5995-4ea1-a6e4-ef2c7a5701ae_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość tworzącej tego stożka. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/46c6dc8b-95f4-4f37-8e5d-649607952de6_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Promień podstawy daszka ma długość 4,8 m. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/4e195ec2-6ea1-4d29-a2d1-3726ee8327c2_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Wysokość daszka ma długość 2 m. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/0fcfcf5c-1d27-4c06-a52e-228d52ee3439_small.svg" type="image/svg+xml"></object>   
 Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni bocznej stożka. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/46c6dc8b-95f4-4f37-8e5d-649607952de6_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Promień podstawy stożka ma długość 5 cm. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/cd948ccf-eca0-48f3-b4ec-cb0398c28c2f_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Wysokość stożka ma długość 35 cm. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/08791055-eb20-4967-b1fc-dc66a2d0fba3_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Obliczamy, ile wynosi objętość stożka, którego obwód podstawy ma długość 30 m, a wysokość wynosi 5 m. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/3b3d7825-f851-474d-a089-fca97ee8c970_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/c75f9e7c-4db2-4fa9-8f6b-c5f9f665d345_small.svg" type="image/svg+xml"></object>   
Objętość hałdy piasku będzie o 5% większa od objętości tego stożka. 
 Obliczamy, ile wynosi długość promienia podstawy. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/0896bbcb-0f7e-4d37-bd53-f56e85689a7f_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/c5ecf3de-c10c-4da6-a2e0-1de6c1b5384a_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/c5ecf3de-c10c-4da6-a2e0-1de6c1b5384a_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/eaf6c396-f319-4437-8ea0-5b25e88d6734_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Obliczamy teraz, ile wynosi objętość stożka. 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/8497cbf7-0365-48cf-92c0-c96d4352c77b_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/8497cbf7-0365-48cf-92c0-c96d4352c77b_small.svg" type="image/svg+xml"></object>   
Obliczamy teraz, ile wynosi objętość hałdy piasku.     
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/8e60587b-9bbd-4d3e-8c57-b4c870150505_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/8e60587b-9bbd-4d3e-8c57-b4c870150505_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/cca0e1cf-97ce-42e4-9aa0-3baf28f39164_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/cca0e1cf-97ce-42e4-9aa0-3baf28f39164_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Odpowiedź: Objętość hałdy piasku wynosi około 125 m3.

a) Stożek I: 
Promień tego stożka ma długość r, a wysokość ma długość H. 
Objętość stożka wynosi: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/2ae1e457-8528-4b52-84c4-203c40a02294_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Stożek II:
Promień tego stożka jest 2 razy dłuższy od promienia stożka I, czyli: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/062eb645-564b-4ae6-b23b-6439b4225e89_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
Wysokość tego stożka jest 2 razy krótsza od wysokości stożka I, czyli: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/34ccb13f-12be-4966-ae90-6d63f4afed3c_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Komentarze